Campo y potencial eléctrico

a) Distancia de cada carga al punto $P(4, 0)$: $r = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\,\text{m}$. Módulo del campo de cada una:$$E_1 = E_2 = \frac{K\,|Q|}{r^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 3\cdot 10^{-9}}{25} = 1{,}08\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$Cada campo va de $P$ hacia su carga. Vectores unitarios:$$\vec u_1 = \frac{(0,3)-(4,0)}{5} = (-0{,}8;\ 0{,}6)\qquad \vec u_2 = \frac{(0,-3)-(4,0)}{5} = (-0{,}8;\ -0{,}6)$$Sumando, las componentes $y$ se cancelan:$$\vec E = 1{,}08\,(-0{,}8\,\vec i + 0{,}6\,\vec j) + 1{,}08\,(-0{,}8\,\vec i - 0{,}6\,\vec j) = -1{,}73\,\vec i\ \text{N}\,\text{C}^{-1}$$El campo apunta hacia el origen, hacia las cargas negativas.

b) Potencial en $P$ y en el origen $O$ (que está a $3\,\text{m}$ de cada carga):$$V_P = 2\,\frac{K\,Q}{5} = 2\cdot\frac{9\cdot 10^{9}\cdot(-3\cdot 10^{-9})}{5} = -10{,}8\ \text{V}\qquad V_O = 2\,\frac{K\,Q}{3} = -18\ \text{V}$$Trabajo del campo sobre la partícula entre $P$ y $O$:$$W_{P\to O} = q\,(V_P - V_O) = 2\cdot 10^{-9}\,\left(-10{,}8 + 18\right) = 1{,}44\cdot 10^{-8}\ \text{J}$$Es positivo: la partícula positiva se mueve sola hacia potenciales más bajos. Como parte del reposo, ese trabajo se convierte en energía cinética:$$\frac{1}{2}\,m\,v^2 = W_{P\to O}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\cdot 1{,}44\cdot 10^{-8}}{0{,}01}} = 1{,}70\cdot 10^{-3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Una velocidad pequeña: la masa de $10\,\text{g}$ es enorme para unas fuerzas eléctricas de nanoculombios.