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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio (coincidentes) · Opción A

Enunciado

En dos de los vértices de un triángulo equilátero de perímetro

90\,\text{m}

se coloca, en cada uno de ellos, un altavoz que emite con una potencia de

50\,\text{W}

. Determine para un observador situado en el vértice libre:

a) El nivel de intensidad sonora.

b) El valor mínimo que debería tener el perímetro del triángulo para que no se oigan los altavoces.

Dato: Intensidad umbral de audición,

I_0 = 10^{-12}\,\text{W}\,\text{m}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\beta = 99{,}5\ \text{dB}\;}

\boxed{\;p_{\text{mín}} = 8{,}46\cdot 10^{6}\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada lado del triángulo mide

90/3 = 30\,\text{m}

, así que el observador está a

30\,\text{m}

de cada altavoz. Cada altavoz, como fuente puntual, le hace llegar

I = P/(4\pi d^2)

.

Lo que se suma son las intensidades (las fuentes son independientes), nunca los decibelios. Con la intensidad total se calcula el nivel sonoro.

En b) «no se oyen» significa que la intensidad total no llega al umbral,

I_0

: de ahí sale la distancia mínima y, multiplicando por 3, el perímetro.

Desarrollo

a) Lado del triángulo:

d = 90/3 = 30\,\text{m}

. Intensidad que llega de cada altavoz:

I_1 = \frac{P}{4\pi d^2} = \frac{50}{4\pi\cdot 30^2} = 4{,}42\cdot 10^{-3}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Intensidad total, con los dos altavoces:

I = 2\,I_1 = 8{,}84\cdot 10^{-3}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Nivel de intensidad sonora:

\beta = 10\log\frac{I}{I_0} = 10\log\frac{8{,}84\cdot 10^{-3}}{10^{-12}} = 99{,}5\ \text{dB}

Con un solo altavoz serían

96{,}5\,\text{dB}

: doblar la intensidad suma solo unos

3\,\text{dB}

.

b) Los altavoces dejan de oírse cuando la intensidad total en el vértice libre es como mucho la umbral:

2\cdot\frac{P}{4\pi d^2} = I_0\quad\Longrightarrow\quad d = \sqrt{\frac{2P}{4\pi I_0}} = \sqrt{\frac{100}{4\pi\cdot 10^{-12}}} = 2{,}82\cdot 10^{6}\ \text{m}

El perímetro mínimo es

p = 3\,d = 8{,}46\cdot 10^{6}\ \text{m}\approx 8460\ \text{km}

Es un resultado de modelo: se supone que el sonido se reparte por igual en todas direcciones sin absorberse. En la realidad el aire absorbe el sonido y dejaría de oírse mucho antes.

Consejo

Los decibelios no se suman. Suma las intensidades en $\text{W/m}^2$ y calcula el nivel al final.

«No se oye» se traduce como $I \le I_0$ , es decir, $\beta \le 0\,\text{dB}$ .