FísicaMedio2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

También trata: Campo y potencial gravitatorio
Comunidad de Madrid · 2019 · Junio (coincidentes) · Opción A
Enunciado
La nave Apolo XI, de masa m=1,6⋅104 kgm = 1{,}6\cdot 10^{4}\,\text{kg}, en su misión de llevar al ser humano a la Luna, se situó en una órbita circular a 250 km250\,\text{km} de altura sobre la superficie lunar, para desde ahí enviar el denominado módulo lunar a la superficie de la Luna. Determine:

a) La velocidad del Apolo XI en su órbita circular y su energía mecánica total.

b) La velocidad de escape y el valor de la gravedad en la superficie de la Luna.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; Masa de la Luna, ML=7,35⋅1022 kgM_L = 7{,}35\cdot 10^{22}\,\text{kg}; Radio de la Luna, RL=1737 kmR_L = 1737\,\text{km}.
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Resultado
  v=1,57⋅103 m s−1Em=−1,97⋅1010 J  \boxed{\;v = 1{,}57\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad E_m = -1{,}97\cdot 10^{10}\ \text{J}\;}  ve=2,38⋅103 m s−1g0=1,62 m s−2  \boxed{\;v_e = 2{,}38\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad g_0 = 1{,}62\ \text{m}\,\text{s}^{-2}\;}
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Estrategia

El radio de la órbita se mide desde el centro de la Luna: r=RL+hr = R_L + h. En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de centrípeta, de donde sale v=GML/rv = \sqrt{GM_L/r}, y la energía mecánica es la mitad de la potencial, Em=−GMLm/(2r)E_m = -GM_Lm/(2r).

En b) todo se calcula en la superficie, con r=RLr = R_L: la velocidad de escape deja la energía mecánica en cero y la gravedad es g0=GML/RL2g_0 = GM_L/R_L^2.
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Desarrollo

a) Radio de la órbita y producto GMLGM_L:r=RL+h=1737+250=1987 km=1,987⋅106 mG ML=6,67⋅10−11⋅7,35⋅1022=4,90⋅1012 N m2 kg−1r = R_L + h = 1737 + 250 = 1987\ \text{km} = 1{,}987\cdot 10^{6}\ \text{m}\qquad G\,M_L = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 7{,}35\cdot 10^{22} = 4{,}90\cdot 10^{12}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-1}Fuerza gravitatoria igual a la centrípeta:G ML mr2=m v2r⟹v=G MLr=4,902⋅10121,987⋅106=1,57⋅103 m s−1\frac{G\,M_L\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G\,M_L}{r}} = \sqrt{\frac{4{,}902\cdot 10^{12}}{1{,}987\cdot 10^{6}}} = 1{,}57\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}Energía mecánica en la órbita (cinética más potencial, 12mv2−GMLm/r\tfrac12 mv^2 - GM_Lm/r):Em=−G ML m2r=−4,902⋅1012⋅1,6⋅1042⋅1,987⋅106=−1,97⋅1010 JE_m = -\frac{G\,M_L\,m}{2r} = -\frac{4{,}902\cdot 10^{12}\cdot 1{,}6\cdot 10^{4}}{2\cdot 1{,}987\cdot 10^{6}} = -1{,}97\cdot 10^{10}\ \text{J}Es negativa: la nave está ligada a la Luna.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Velocidad de escape desde la superficie, imponiendo Em=0E_m = 0:12 m ve2−G ML mRL=0⟹ve=2 G MLRL=2⋅4,902⋅10121,737⋅106=2,38⋅103 m s−1\frac{1}{2}\,m\,v_e^2 - \frac{G\,M_L\,m}{R_L} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M_L}{R_L}} = \sqrt{\frac{2\cdot 4{,}902\cdot 10^{12}}{1{,}737\cdot 10^{6}}} = 2{,}38\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}Gravedad en la superficie:g0=G MLRL2=4,902⋅1012(1,737⋅106)2=1,62 m s−2g_0 = \frac{G\,M_L}{R_L^2} = \frac{4{,}902\cdot 10^{12}}{\left(1{,}737\cdot 10^{6}\right)^2} = 1{,}62\ \text{m}\,\text{s}^{-2}Más o menos la sexta parte de la terrestre.
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Consejo

El error más frecuente es usar la altura como radio. Suma siempre el radio del astro: r=R+hr = R + h.

Calcula una vez GMGM y reutilízalo en todos los apartados: te ahorras cuentas y errores.
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