FísicaFácilProblema · 2 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio · Opción B
Enunciado
Se dispone de una muestra de 10 mg10\,\text{mg} de 238Pu^{238}\text{Pu} cuyo período de semidesintegración es de 87,787{,}7 años y su masa atómica es 238 u238\,\text{u}. Calcule:

a) El tiempo necesario para que la muestra se reduzca a 2 mg2\,\text{mg}.

b) Los valores de la actividad inicial y final.

Datos: Número de Avogadro, NA=6,02⋅1023 mol−1N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}.
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Resultado
  t=204 an˜os  \boxed{\;t = 204\ \text{años}\;}  A0=6,34⋅109 BqA=1,27⋅109 Bq  \boxed{\;A_0 = 6{,}34\cdot 10^{9}\ \text{Bq}\qquad A = 1{,}27\cdot 10^{9}\ \text{Bq}\;}
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Estrategia

La masa de la muestra que queda sin desintegrar es proporcional al número de núcleos, así que sigue la misma ley exponencial: m=m0 e−λtm = m_0\,e^{-\lambda t}. Con el periodo de semidesintegración obtenemos λ\lambda y despejamos el tiempo con logaritmos.

Para b), la actividad es A=λNA = \lambda N: contamos los núcleos con el número de Avogadro y expresamos λ\lambda en s−1\text{s}^{-1} para que la actividad salga en becquerelios. La actividad final es la quinta parte de la inicial, igual que la masa.
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Desarrollo

a) Constante de desintegración:λ=ln⁡2T1/2=ln⁡287,7 an˜os=7,90⋅10−3 an˜os−1\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{87{,}7\ \text{años}} = 7{,}90\cdot 10^{-3}\ \text{años}^{-1}Ley de desintegración aplicada a la masa:m=m0 e−λt⟹t=1λln⁡m0m=87,7ln⁡2 ln⁡102=204 an˜osm = m_0\,e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{\lambda}\ln\frac{m_0}{m} = \frac{87{,}7}{\ln 2}\,\ln\frac{10}{2} = 204\ \text{años}(Exactamente, 203,6203{,}6 años: algo más de dos periodos, porque con dos periodos quedarían 2,5 mg2{,}5\,\text{mg}.)
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Constante de desintegración en el SI (tomando 1 año = 365 días):T1/2=87,7⋅365⋅86 400=2,77⋅109 sλ=ln⁡22,766⋅109=2,51⋅10−10 s−1T_{1/2} = 87{,}7\cdot 365\cdot 86\,400 = 2{,}77\cdot 10^{9}\ \text{s}\qquad \lambda = \frac{\ln 2}{2{,}766\cdot 10^{9}} = 2{,}51\cdot 10^{-10}\ \text{s}^{-1}Número inicial de núcleos en 10 mg=10−2 g10\,\text{mg} = 10^{-2}\,\text{g}:N0=10−2238⋅6,02⋅1023=2,53⋅1019 nuˊcleosN_0 = \frac{10^{-2}}{238}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 2{,}53\cdot 10^{19}\ \text{núcleos}Actividad inicial:A0=λ N0=2,506⋅10−10⋅2,529⋅1019=6,34⋅109 BqA_0 = \lambda\,N_0 = 2{,}506\cdot 10^{-10}\cdot 2{,}529\cdot 10^{19} = 6{,}34\cdot 10^{9}\ \text{Bq}Al final quedan 2 mg2\,\text{mg}, la quinta parte de los núcleos, y la actividad es proporcional a ellos:A=A05=1,27⋅109 BqA = \frac{A_0}{5} = 1{,}27\cdot 10^{9}\ \text{Bq}
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Consejo

Para el tiempo no hace falta pasar a segundos: si λ\lambda va en años−1^{-1}, tt sale en años. Pero para la actividad sí: el becquerelio es una desintegración por segundo.

La masa que «se reduce a 2 mg» es la del plutonio que queda: la muestra total pesa casi lo mismo, porque los productos de la desintegración siguen ahí.
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