FísicaMedioProblema · 2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

Una onda armónica transversal de frecuencia

f = 0{,}25\,\text{Hz}

y longitud de onda

\lambda = 2\,\text{m}

se propaga en el sentido positivo del eje

x

. Sabiendo que el punto situado en

x = 0{,}5\,\text{m}

tiene, en el instante

t = 2\,\text{s}

, elongación nula y velocidad de oscilación negativa, y en el instante

t = 3\,\text{s}

, elongación

y = -0{,}2\,\text{m}

, determine:

a) La expresión matemática que representa dicha onda.

b) La velocidad máxima de oscilación de cualquier punto alcanzado por la onda y la diferencia de fase, en un mismo instante, entre dos puntos situados en el eje

x

que distan entre sí

0{,}75\,\text{m}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;y(x,t) = 0{,}2\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\,t - \pi x + \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}\;}

\boxed{\;v_{\text{máx}} = 0{,}1\pi = 0{,}314\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\qquad \Delta\varphi = \frac{3\pi}{4}\ \text{rad}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Con

f

\lambda

tenemos directamente

\omega

k

. Faltan la amplitud y la fase inicial, y el enunciado nos da justo dos condiciones sobre el mismo punto:

En $t = 2\,\text{s}$ pasa por el equilibrio bajando: eso fija la fase inicial (el seno vale cero y el coseno es negativo).
Un segundo después ( $T/4$ , porque $T = 4\,\text{s}$ ) está en $-0{,}2\,\text{m}$ : ha llegado al extremo inferior, así que la amplitud es $0{,}2\,\text{m}$ .

Para b), la velocidad máxima de un punto del medio es

A\omega

, y el desfase entre dos puntos separados

\Delta x

k\,\Delta x

Desarrollo

a) Magnitudes de la onda:

\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 0{,}25 = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{2} = \pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}

Como se propaga hacia

+x

, la escribimos:

y(x,t) = A\,\text{sen}\left(\omega t - kx + \varphi_0\right) = A\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\,t - \pi x + \varphi_0\right)

y su velocidad de oscilación es

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}\,t - \pi x + \varphi_0\right)

x = 0{,}5\,\text{m}

t = 2\,\text{s}

la fase vale

\pi - \dfrac{\pi}{2} + \varphi_0 = \dfrac{\pi}{2} + \varphi_0

. Elongación nula y velocidad negativa (con

A > 0

\text{sen}\left(\frac{\pi}{2} + \varphi_0\right) = 0,\qquad \cos\left(\frac{\pi}{2} + \varphi_0\right) < 0\quad\Longrightarrow\quad \frac{\pi}{2} + \varphi_0 = \pi\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}

x = 0{,}5\,\text{m}

t = 3\,\text{s}

la fase vale

\dfrac{3\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{2}

y = A\,\text{sen}\frac{3\pi}{2} = -A = -0{,}2\quad\Longrightarrow\quad A = 0{,}2\ \text{m}

La onda queda:

y(x,t) = 0{,}2\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{2}\,t - \pi x + \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}\qquad (x\ \text{en m},\ t\ \text{en s})

que también se puede escribir como

y = 0{,}2\cos\left(\frac{\pi}{2}\,t - \pi x\right)\ \text{m}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Cada punto oscila con un MAS de amplitud

A

y frecuencia angular

\omega

; la velocidad es máxima al pasar por el equilibrio:

v_{\text{máx}} = A\,\omega = 0{,}2\cdot\frac{\pi}{2} = 0{,}1\pi = 0{,}314\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Diferencia de fase, en el mismo instante, entre dos puntos separados

\Delta x = 0{,}75\,\text{m}

\Delta\varphi = k\,\Delta x = \pi\cdot 0{,}75 = \frac{3\pi}{4}\ \text{rad} = 2{,}36\ \text{rad}

Consejo

Con una condición de «elongación nula» siempre hay dos fases posibles; el signo de la velocidad decide cuál es. Si no lo usas, tienes un 50 % de acertar.

Fíjate en que de $t = 2\,\text{s}$ a $t = 3\,\text{s}$ pasa un cuarto de periodo: de bajar por el equilibrio llega justo al extremo inferior. Eso te da la amplitud sin cuentas.