Campo magnético creado por corrientes

a) Campo de un hilo indefinido a distancia $d$:$$B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi d}$$Punto $P\,(0, 2)\,\text{cm}$. El hilo de $O$ está a $d = 0{,}02\,\text{m}$, con $\vec u_r = \vec j$ (de $O$ hacia $P$):$$B_O = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 5}{2\pi\cdot 0{,}02} = 5\cdot 10^{-5}\ \text{T},\qquad \vec u_z\times\vec j = -\vec i\quad\Longrightarrow\quad \vec B_O = -5\cdot 10^{-5}\,\vec i\ \text{T}$$El hilo de $A$ también está a $0{,}02\,\text{m}$ de $P$, pero con $\vec u_r = -\vec i$ (de $A$ hacia $P$):$$\vec u_z\times(-\vec i) = -\vec j\quad\Longrightarrow\quad \vec B_A = -5\cdot 10^{-5}\,\vec j\ \text{T}$$Sumando:$$\vec B_P = \left(-5\cdot 10^{-5}\,\vec i - 5\cdot 10^{-5}\,\vec j\right)\ \text{T},\qquad |\vec B_P| = 5\sqrt{2}\cdot 10^{-5} = 7{,}07\cdot 10^{-5}\ \text{T}$$Punto $Q\,(1, 1)\,\text{cm}$. Es el punto medio del segmento $OA$: está a la misma distancia ($\sqrt{2}\,\text{cm}$) de los dos hilos, que llevan la misma corriente. Los vectores $\vec u_r$ de los dos hilos hacia $Q$ son opuestos, así que los campos son iguales en módulo y de sentidos contrarios:$$\vec B_Q = \vec 0$$b) Distancia entre los hilos:$$d = \sqrt{0{,}02^2 + 0{,}02^2} = 2\sqrt{2}\cdot 10^{-2} = 2{,}83\cdot 10^{-2}\ \text{m}$$Fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos:$$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\cdot 5\cdot 5}{2\pi\cdot 2{,}83\cdot 10^{-2}} = 1{,}77\cdot 10^{-4}\ \text{N}\,\text{m}^{-1}$$Las corrientes van en el mismo sentido, así que la fuerza es atractiva: sobre el hilo de $A$ apunta hacia $O$, en la dirección de $-(\vec i + \vec j)/\sqrt{2}$:$$\frac{\vec F}{L} = 1{,}77\cdot 10^{-4}\cdot\frac{-\vec i - \vec j}{\sqrt{2}} = \left(-1{,}25\cdot 10^{-4}\,\vec i - 1{,}25\cdot 10^{-4}\,\vec j\right)\ \text{N}\,\text{m}^{-1}$$Se puede comprobar con $\vec F = I\,\vec L\times\vec B$: en $A$, el campo del hilo de $O$ es $\vec B \propto \vec u_z\times\frac{\vec i+\vec j}{\sqrt 2} = \frac{-\vec i+\vec j}{\sqrt 2}$, y $\vec u_z\times\frac{-\vec i+\vec j}{\sqrt 2} = \frac{-\vec j-\vec i}{\sqrt 2}$, hacia $O$.