FísicaMedioProblema · 2 pts

Campo y potencial gravitatorio

Comunidad de Madrid · 2019 · Junio · Opción A
Enunciado
Una masa puntual m1=5 kgm_1 = 5\,\text{kg} está situada en el punto (4,3) m(4, 3)\,\text{m}.

a) Determine la intensidad del campo gravitatorio creado por la masa m1m_1 en el origen de coordenadas y el trabajo realizado al trasladar otra masa m2=0,5 kgm_2 = 0{,}5\,\text{kg} desde el infinito hasta el origen de coordenadas.

b) Situadas las masas m1m_1 y m2m_2 en las posiciones anteriores, ¿a qué distancia del origen de coordenadas, el campo gravitatorio resultante es nulo?

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}.
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Resultado
  g⃗(O)=(1,07⋅10−11 i⃗+8,00⋅10−12 j⃗) N kg−1∣g⃗∣=1,33⋅10−11 N kg−1  \boxed{\;\vec g(O) = \left(1{,}07\cdot 10^{-11}\,\vec i + 8{,}00\cdot 10^{-12}\,\vec j\right)\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}\qquad |\vec g| = 1{,}33\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}\;}  W∞→O=3,34⋅10−11 J  (lo realiza el campo)  \boxed{\;W_{\infty\to O} = 3{,}34\cdot 10^{-11}\ \text{J}\ \ (\text{lo realiza el campo})\;}  d=1,20 m  del origen, en el punto (0,96; 0,72) m  \boxed{\;d = 1{,}20\ \text{m}\ \ \text{del origen, en el punto}\ (0{,}96;\ 0{,}72)\ \text{m}\;}
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Estrategia

El campo gravitatorio siempre apunta hacia la masa que lo crea. En el origen, el campo de m1m_1 va dirigido hacia el punto (4,3)(4, 3), que está a 5 m: basta con calcular su módulo con g=GM/r2g = GM/r^2 y repartirlo en componentes con el vector unitario que va del origen a m1m_1.

El trabajo del campo al traer m2m_2 desde el infinito es menos la variación de energía potencial. Como la masa «cae» hacia m1m_1, el campo hace trabajo positivo.

Para b), los dos campos solo pueden anularse en el segmento que une las masas, porque ahí apuntan en sentidos opuestos. El punto estará más cerca de la masa pequeña, m2m_2, que está en el origen.
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Desarrollo

a) Distancia de m1m_1 al origen:r=42+32=5 mr = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5\ \text{m}Módulo del campo en el origen:g=G m1r2=6,67⋅10−11⋅552=1,33⋅10−11 N kg−1g = \frac{G\,m_1}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5}{5^2} = 1{,}33\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}El campo apunta del origen hacia m1m_1, en la dirección del vector unitario u⃗=(4,3)5=(0,8; 0,6)\vec u = \frac{(4,3)}{5} = (0{,}8;\ 0{,}6):g⃗=1,334⋅10−11(0,8 i⃗+0,6 j⃗)=(1,07⋅10−11 i⃗+8,00⋅10−12 j⃗) N kg−1\vec g = 1{,}334\cdot 10^{-11}\left(0{,}8\,\vec i + 0{,}6\,\vec j\right) = \left(1{,}07\cdot 10^{-11}\,\vec i + 8{,}00\cdot 10^{-12}\,\vec j\right)\ \text{N}\,\text{kg}^{-1}La energía potencial de m2m_2 en el origen (con el origen de energías en el infinito) es:Ep(O)=−G m1 m2r=−6,67⋅10−11⋅5⋅0,55=−3,34⋅10−11 JE_p(O) = -\frac{G\,m_1\,m_2}{r} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5\cdot 0{,}5}{5} = -3{,}34\cdot 10^{-11}\ \text{J}El trabajo que hace el campo es menos la variación de energía potencial, y en el infinito Ep=0E_p = 0:W∞→O=−[Ep(O)−Ep(∞)]=−(−3,34⋅10−11−0)=3,34⋅10−11 JW_{\infty\to O} = -\left[E_p(O) - E_p(\infty)\right] = -\left(-3{,}34\cdot 10^{-11} - 0\right) = 3{,}34\cdot 10^{-11}\ \text{J}Es positivo: el campo atrae a m2m_2 hacia m1m_1 y realiza el trabajo él solo (una fuerza externa tendría que hacer −3,34⋅10−11 J-3{,}34\cdot 10^{-11}\ \text{J} para traerla sin que gane energía cinética).
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b) Llamamos dd a la distancia desde el origen (m2m_2) hasta el punto buscado, sobre el segmento que va hacia m1m_1; la distancia a m1m_1 es entonces 5−d5 - d. Los dos campos tienen sentidos opuestos, así que se anulan cuando sus módulos son iguales:G m2d2=G m1(5−d)2⟹5−dd=m1m2=10\frac{G\,m_2}{d^2} = \frac{G\,m_1}{(5-d)^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{5-d}{d} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \sqrt{10}d=51+10=1,20 md = \frac{5}{1 + \sqrt{10}} = 1{,}20\ \text{m}El punto está sobre la recta que une el origen con (4,3)(4, 3), en (0,8 d; 0,6 d)=(0,96; 0,72) m(0{,}8\,d;\ 0{,}6\,d) = (0{,}96;\ 0{,}72)\ \text{m}, más cerca de m2m_2 como esperábamos.
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Consejo

Al plantear dónde se anula el campo, pregúntate primero en qué zona apuntan en sentidos opuestos. Con dos masas, siempre es entre ellas, y más cerca de la pequeña.

Quedarte con la raíz de m1/m2m_1/m_2 evita la ecuación de segundo grado: tomas la raíz positiva porque dd y 5−d5 - d son distancias.
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