Es sabido que para datar la antigüedad de muestras arqueológicas se utiliza la medida de átomos ^{14}\text{C} residuales en la muestra. En una muestra arqueológica de 3\,\text{kg} se ha detectado que la concentración residual de ^{14}\text{C}, respecto de la concentración inicial, es de un 5\,\%. Sabiendo que la constante de desintegración del ^{14}\text{C} es 1{,}24\cdot 10^{-4}\,\text{años}^{-1} y que su abundancia relativa en masa en la muestra es del 10^{-4}\,\%, determine: a) El tiempo de vida media del ^{14}\text{C} y la antigüedad de la muestra. b) La actividad actual de la muestra y el periodo de semidesintegración obtenido razonadamente a partir de su definición. Datos: Número de Avogadro, N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\,\text{átomos}\,\text{mol}^{-1}; Masa atómica del ^{14}\text{C}, M = 14\,\text{u}.

FísicaMedio2 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2019 · Julio (coincidentes) · Opción B

Enunciado

Es sabido que para datar la antigüedad de muestras arqueológicas se utiliza la medida de átomos

^{14}\text{C}

residuales en la muestra. En una muestra arqueológica de

3\,\text{kg}

se ha detectado que la concentración residual de

^{14}\text{C}

, respecto de la concentración inicial, es de un

5\,\%

. Sabiendo que la constante de desintegración del

^{14}\text{C}

1{,}24\cdot 10^{-4}\,\text{años}^{-1}

y que su abundancia relativa en masa en la muestra es del

10^{-4}\,\%

, determine:

a) El tiempo de vida media del

^{14}\text{C}

y la antigüedad de la muestra.

b) La actividad actual de la muestra y el periodo de semidesintegración obtenido razonadamente a partir de su definición.

Datos: Número de Avogadro,

N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\,\text{átomos}\,\text{mol}^{-1}

; Masa atómica del

^{14}\text{C}

M = 14\,\text{u}

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Resultado

\boxed{\;\tau = 8{,}06\cdot 10^{3}\ \text{años}\qquad t = 2{,}42\cdot 10^{4}\ \text{años}\;}

\boxed{\;A = 5{,}07\cdot 10^{8}\ \text{Bq}\qquad T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = 5{,}59\cdot 10^{3}\ \text{años}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La vida media es la inversa de la constante de desintegración,

\tau = 1/\lambda

. La antigüedad sale de la ley de desintegración,

N = N_0\,e^{-\lambda t}

, con

N/N_0 = 0{,}05

.

En b) la actividad es

A = \lambda N

: hay que contar los núcleos de

^{14}\text{C}

que tiene hoy la muestra (la abundancia del

10^{-4}\,\%

en masa se refiere a la muestra actual) y expresar

\lambda

\text{s}^{-1}

para tener becquerelios. El periodo de semidesintegración es el tiempo en que

N

se reduce a la mitad.

Desarrollo

a) Vida media:

\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{1{,}24\cdot 10^{-4}} = 8{,}06\cdot 10^{3}\ \text{años}

Antigüedad: queda el

5\,\%

de los núcleos iniciales.

\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t} = 0{,}05\quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\ln(1/0{,}05)}{\lambda} = \frac{\ln 20}{1{,}24\cdot 10^{-4}} = 2{,}42\cdot 10^{4}\ \text{años}

Unos

24\,000

años, algo más de cuatro periodos de semidesintegración.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Masa de

^{14}\text{C}

que hay ahora en la muestra:

m = 3\ \text{kg}\cdot\frac{10^{-4}}{100} = 3\cdot 10^{-6}\ \text{kg} = 3\cdot 10^{-3}\ \text{g}

Número de núcleos:

N = \frac{3\cdot 10^{-3}}{14}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 1{,}29\cdot 10^{20}\ \text{núcleos}

Constante de desintegración en el SI (con

1\,\text{año} = 365\,\text{días} = 3{,}15\cdot 10^{7}\,\text{s}

\lambda = \frac{1{,}24\cdot 10^{-4}}{365\cdot 86\,400} = 3{,}93\cdot 10^{-12}\ \text{s}^{-1}

Actividad actual:

A = \lambda\,N = 3{,}93\cdot 10^{-12}\cdot 1{,}29\cdot 10^{20} = 5{,}07\cdot 10^{8}\ \text{Bq}

Periodo de semidesintegración: es el tiempo

T_{1/2}

que tarda en desintegrarse la mitad de los núcleos,

N(T_{1/2}) = N_0/2

\frac{N_0}{2} = N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}}\quad\Longrightarrow\quad \lambda\,T_{1/2} = \ln 2\quad\Longrightarrow\quad T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0{,}693}{1{,}24\cdot 10^{-4}} = 5{,}59\cdot 10^{3}\ \text{años}

(El valor tabulado es

5730

años; el enunciado da una

\lambda

algo mayor.)

Consejo

Para datar no hace falta pasar a segundos: si $\lambda$ va en años⁻¹, el tiempo sale en años. Para la actividad sí: el becquerelio es una desintegración por segundo.

«Razonadamente a partir de su definición» pide escribir $N_0/2 = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}$ y despejar, no copiar la fórmula final.