Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) La velocidad de escape es la velocidad mínima que hay que comunicar a un cuerpo situado en un punto del campo para que salga de él, es decir, para que llegue al infinito con velocidad nula. No depende de la masa del cuerpo, solo de la masa que crea el campo y de la distancia a ella.

Por conservación de la energía mecánica entre el punto de partida ($r = 2R_T$) y el infinito:$$\frac{1}{2}\,m\,v_e^2 - \frac{G\,M_T\,m}{2R_T} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M_T}{2R_T}} = \sqrt{\frac{G\,M_T}{R_T}}$$$$v_e = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}}{6{,}37\cdot 10^{6}}} = \sqrt{6{,}25\cdot 10^{7}} = 7{,}91\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Es $\sqrt 2$ veces menor que la velocidad de escape desde la superficie ($11{,}2\,\text{km/s}$): cuanto más lejos, menos ligado está el cuerpo.

b) En la órbita circular de radio $r = 2R_T$, la energía mecánica del cuerpo es$$E_m = -\frac{G\,M_T\,m}{2r} = -\frac{G\,M_T\,m}{4R_T} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 10^{3}}{4\cdot 6{,}37\cdot 10^{6}} = -1{,}56\cdot 10^{10}\ \text{J}$$Para escapar necesita llegar a $E_m = 0$, así que hay que comunicarle$$\Delta E = 0 - E_m = \frac{G\,M_T\,m}{4R_T} = 1{,}56\cdot 10^{10}\ \text{J}$$Es la mitad de lo que necesitaría si estuviera en reposo a esa distancia ($G M_T m/(2R_T) = 3{,}13\cdot 10^{10}\,\text{J}$): en órbita ya tiene una energía cinética igual a la mitad de su energía potencial (en valor absoluto).