FísicaDifícil2 pts

Inducción electromagnética

También trata: Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Comunidad de Madrid · 2019 · Julio (coincidentes) · Opción A

Enunciado

Una espira cuadrada, de lado

a = 10\,\text{cm}

y resistencia

R = 12\,\Omega

, está inmersa en una región del espacio en la que hay un campo magnético uniforme

B_0 = 0{,}3\,\text{T}

. Determine:

a) La fuerza electromotriz inducida y la corriente que se induce, si la espira gira con velocidad angular constante de

10\,\text{rpm}

respecto de un eje que pasa por su centro y es paralelo a dos de sus lados y el campo magnético es perpendicular al eje de giro (ver figura a).

b) El vector fuerza que actúa sobre cada uno de los lados si el campo magnético es paralelo al eje de giro, la espira está en reposo y circula por ella una corriente de

I = 0{,}5\,\text{A}

(ver figura b).

Figura a: espira cuadrada que gira con velocidad angular ω alrededor de un eje vertical (eje y) que pasa por su centro; el campo B1 es perpendicular al eje y el ángulo girado es θ = ωt. Ejes: i hacia la derecha, j hacia arriba y k hacia el observador. Figura b: la espira en reposo (ω = 0) en el plano xy, con el campo B2 vertical, en el sentido de j, y la corriente I recorriendo la espira en sentido antihorario: sube por el lado derecho, va hacia la izquierda por el de arriba, baja por el izquierdo y va hacia la derecha por el de abajo

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Resultado

\boxed{\;\varepsilon = 3{,}14\cdot 10^{-3}\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{3}\,t\right)\ \text{V}\qquad I = 2{,}62\cdot 10^{-4}\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{3}\,t\right)\ \text{A}\;}

\boxed{\;\vec F_{\text{der}} = \vec F_{\text{izq}} = \vec 0\qquad \vec F_{\text{arr}} = -1{,}5\cdot 10^{-2}\,\vec k\ \text{N}\qquad \vec F_{\text{ab}} = 1{,}5\cdot 10^{-2}\,\vec k\ \text{N}\;}

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Estrategia

En a) la espira gira en un campo uniforme: lo que cambia es el ángulo entre el campo y la normal, y con él el flujo,

\Phi = B S\cos\omega t

(contamos el tiempo desde que el campo es perpendicular al plano de la espira, como en la figura). La ley de Faraday da la f.e.m., una función senoidal: es un alternador. Hay que pasar las rpm a rad/s.

En b) la espira está quieta y no hay inducción: cada lado es un conductor recto con corriente en un campo magnético, y la fuerza es

\vec F = I\,\vec L\times\vec B

. Los lados paralelos al campo no sienten fuerza; los otros dos, fuerzas iguales y opuestas.

Desarrollo

a) Velocidad angular y área de la espira:

\omega = 10\ \frac{\text{rev}}{\text{min}}\cdot\frac{2\pi\ \text{rad}}{1\ \text{rev}}\cdot\frac{1\ \text{min}}{60\ \text{s}} = \frac{\pi}{3}\ \text{rad}\,\text{s}^{-1} = 1{,}05\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}\qquad S = a^2 = 0{,}01\ \text{m}^2

El ángulo entre

\vec B

y la normal a la espira es

\theta = \omega t

, así que el flujo es

\Phi(t) = B_0\,S\cos(\omega t) = 0{,}3\cdot 0{,}01\cos\left(\frac{\pi}{3}\,t\right) = 3\cdot 10^{-3}\cos\left(\frac{\pi}{3}\,t\right)\ \text{Wb}

Ley de Faraday:

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = B_0\,S\,\omega\,\text{sen}(\omega t) = 3\cdot 10^{-3}\cdot\frac{\pi}{3}\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{3}\,t\right) = 3{,}14\cdot 10^{-3}\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{3}\,t\right)\ \text{V}

Corriente inducida, por la ley de Ohm:

I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{3{,}14\cdot 10^{-3}}{12}\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{3}\,t\right) = 2{,}62\cdot 10^{-4}\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{3}\,t\right)\ \text{A}

Es una corriente alterna de valores máximos

\varepsilon_0 = \pi\cdot 10^{-3}\,\text{V} \approx 3{,}14\,\text{mV}

I_0 = 0{,}262\,\text{mA}

, y periodo

T = 2\pi/\omega = 6\,\text{s}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Con los ejes de la figura, la espira está en el plano

xy

y el campo es

\vec B = 0{,}3\,\vec j\ \text{T}

. La corriente la recorre en sentido antihorario. Fuerza sobre cada lado,

\vec F = I\,\vec L\times\vec B

, con

L = a = 0{,}1\,\text{m}

Lado derecho (corriente hacia $+\vec j$ ) y lado izquierdo (hacia $-\vec j$ ): son paralelos al campo y $\vec j\times\vec j = 0$ :

\vec F_{\text{der}} = \vec F_{\text{izq}} = \vec 0

Lado de arriba (corriente hacia $-\vec i$ ):

\vec F_{\text{arr}} = 0{,}5\cdot 0{,}1\,(-\vec i)\times 0{,}3\,\vec j = -0{,}015\,(\vec i\times\vec j) = -1{,}5\cdot 10^{-2}\,\vec k\ \text{N}

Lado de abajo (corriente hacia $+\vec i$ ):

\vec F_{\text{ab}} = 0{,}5\cdot 0{,}1\,\vec i\times 0{,}3\,\vec j = +1{,}5\cdot 10^{-2}\,\vec k\ \text{N}

La fuerza total es nula, pero las de arriba y abajo forman un par: tienden a hacer girar la espira alrededor del eje

x

(no del eje de giro de la figura, que es paralelo al campo).

Consejo

Antes de derivar el flujo, pasa siempre las rpm a rad/s: $1\,\text{rpm} = 2\pi/60\,\text{rad/s}$ . Con 10 rpm sale un número redondo, $\pi/3$ .

En el apartado de fuerzas, dibuja la corriente en cada lado y haz el producto vectorial lado a lado. Los lados paralelos al campo son los que se ahorran la cuenta.