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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2019 · Julio (coincidentes) · Opción A

Enunciado

En el punto medio entre dos fuentes puntuales sonoras A y B se detecta un nivel de intensidad sonora de

40\,\text{dB}

cuando emite sólo la fuente A y de

60\,\text{dB}

cuando sólo emite la fuente B.

a) Determine el valor del cociente entre las potencias de emisión de ambas fuentes.

Suponga ahora que solo emite la fuente A y que el nivel de intensidad sonora que se percibe a una distancia de

100\,\text{m}

es de

40\,\text{dB}

.

b) Calcule la distancia a la que habría que situarse respecto de la fuente A para que el nivel de intensidad sonora fuese de

50\,\text{dB}

.

Dato: Intensidad umbral de audición,

I_0 = 10^{-12}\,\text{W}\,\text{m}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\frac{P_A}{P_B} = 10^{-2}\quad\left(\frac{P_B}{P_A} = 100\right)\;}

\boxed{\;r = \frac{100}{\sqrt{10}}\ \text{m} = 31{,}6\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una fuente puntual reparte su potencia sobre esferas: a una distancia

r

la intensidad es

I = P/(4\pi r^2)

.

En a) el punto medio está a la misma distancia de las dos fuentes, así que el cociente de potencias es el cociente de intensidades. Y una diferencia de

20\,\text{dB}

es un factor

10^{2}

en intensidad.

En b) subir

10\,\text{dB}

es multiplicar la intensidad por 10; como

I \propto 1/r^2

, la distancia se divide entre

\sqrt{10}

Desarrollo

a) Del nivel de intensidad sonora,

\beta = 10\log(I/I_0)

, sacamos la intensidad de cada fuente en el punto medio:

I_A = I_0\cdot 10^{\beta_A/10} = 10^{-12}\cdot 10^{4} = 10^{-8}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\qquad I_B = 10^{-12}\cdot 10^{6} = 10^{-6}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Las dos fuentes están a la misma distancia

d

del punto medio:

\frac{P_A}{P_B} = \frac{I_A\cdot 4\pi d^2}{I_B\cdot 4\pi d^2} = \frac{I_A}{I_B} = \frac{10^{-8}}{10^{-6}} = 10^{-2}

La fuente B emite con una potencia 100 veces mayor que la A (

P_B/P_A = 100

).

b) Intensidades que corresponden a

40

50\,\text{dB}

I_1 = 10^{-12}\cdot 10^{4} = 10^{-8}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\qquad I_2 = 10^{-12}\cdot 10^{5} = 10^{-7}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Con la misma potencia,

I_1 r_1^2 = I_2 r_2^2

r_2 = r_1\sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = 100\cdot\sqrt{\frac{10^{-8}}{10^{-7}}} = \frac{100}{\sqrt{10}} = 31{,}6\ \text{m}

(La fuente A emite

P_A = 10^{-8}\cdot 4\pi\cdot 100^2 = 1{,}26\cdot 10^{-3}\,\text{W}

, aunque no hace falta conocerla.) Hay que acercarse a la fuente: más nivel sonoro, menos distancia.

Consejo

Cada $10\,\text{dB}$ es un factor 10 en intensidad: $20\,\text{dB}$ de diferencia son un factor 100. Con esto muchos apartados salen sin logaritmos.

Para pasar de intensidad a distancia recuerda que la relación es con el cuadrado: multiplicar la intensidad por 10 es acercarse $\sqrt{10}$ veces, no 10.