FísicaFácil2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2019 · Julio (coincidentes) · Opción A
Enunciado
Una nave espacial tripulada se encuentra describiendo una órbita circular geoestacionaria alrededor de la Tierra. Determine:

a) El radio de la órbita y la velocidad lineal de la nave.

El astronauta recibe la orden de cambiar de órbita y pasar a otra, también circular, de radio el doble de la actual.

b) ¿Cuál será la nueva velocidad lineal de la nave? Justifique la respuesta.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; Masa de la Tierra, MT=5,97⋅1024 kgM_T = 5{,}97\cdot 10^{24}\,\text{kg}.
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Resultado
  r=4,22⋅107 mv=3,07⋅103 m s−1  \boxed{\;r = 4{,}22\cdot 10^{7}\ \text{m}\qquad v = 3{,}07\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}  v′=v2=2,17⋅103 m s−1  \boxed{\;v' = \frac{v}{\sqrt 2} = 2{,}17\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Una órbita geoestacionaria da una vuelta en lo mismo que tarda la Tierra en girar sobre sí misma: T=24 hT = 24\,\text{h}. Con el periodo conocido, la tercera ley de Kepler (que sale de igualar la fuerza gravitatoria a la centrípeta) da el radio, y la velocidad es la longitud de la órbita entre el periodo.

En b) la nueva órbita también es circular, así que la velocidad vuelve a salir de v=GMT/rv = \sqrt{GM_T/r}: no depende de la masa de la nave y es inversamente proporcional a la raíz del radio. Al doblar el radio, la velocidad se divide entre 2\sqrt 2.
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Desarrollo

a) En una órbita circular la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta:G MT mr2=m v2r⟹v2=G MTr\frac{G\,M_T\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{G\,M_T}{r}Con v=2πr/Tv = 2\pi r/T queda la tercera ley de Kepler y despejamos el radio:4π2r2T2=G MTr⟹r=G MT T24π23\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G\,M_T}{r}\quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{\frac{G\,M_T\,T^2}{4\pi^2}}Con T=24 h=86 400 sT = 24\,\text{h} = 86\,400\,\text{s} y G MT=6,67⋅10−11⋅5,97⋅1024=3,98⋅1014 N m2 kg−1G\,M_T = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24} = 3{,}98\cdot 10^{14}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-1}:r=3,982⋅1014⋅86 40024π23=4,22⋅107 mr = \sqrt[3]{\frac{3{,}982\cdot 10^{14}\cdot 86\,400^2}{4\pi^2}} = 4{,}22\cdot 10^{7}\ \text{m}unos 42 200 km42\,200\,\text{km} desde el centro de la Tierra (unos 35 900 km35\,900\,\text{km} sobre la superficie). La velocidad lineal:v=2πrT=2π⋅4,223⋅10786 400=3,07⋅103 m s−1v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi\cdot 4{,}223\cdot 10^{7}}{86\,400} = 3{,}07\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}Lo mismo sale de v=GMT/rv = \sqrt{G M_T/r}, que sirve de comprobación.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) En la nueva órbita circular, de radio r′=2rr' = 2r, vuelve a cumplirse v′2=GMT/r′v'^2 = G M_T/r'. Dividiendo entre la expresión de la órbita inicial:v′v=rr′=12⟹v′=v2=3,07⋅1032=2,17⋅103 m s−1\frac{v'}{v} = \sqrt{\frac{r}{r'}} = \sqrt{\frac{1}{2}}\quad\Longrightarrow\quad v' = \frac{v}{\sqrt 2} = \frac{3{,}07\cdot 10^{3}}{\sqrt 2} = 2{,}17\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}La nave va más despacio en la órbita más alta: el campo gravitatorio es más débil y hace falta menos velocidad para que la atracción curve la trayectoria. Su periodo pasa a ser 222\sqrt 2 veces el de antes (unas 68 h), así que deja de ser geoestacionaria.
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Consejo

«Geoestacionaria» es un dato escondido: te da el periodo, T=24 hT = 24\,\text{h}. Pásalo a segundos antes de meterlo en la tercera ley de Kepler.

En una órbita circular, cuanto más lejos, más lenta: v∝1/rv \propto 1/\sqrt r. Si dudas al justificarlo, escribe la igualdad entre fuerza gravitatoria y centrípeta y divide las dos órbitas.
Paso 1 de 3
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