FísicaMedioProblema · 2 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2019 · Julio · Opción B
Enunciado
Una muestra de madera de un sarcófago se ha datado mediante el método del 14C^{14}\text{C} con una edad de 32003200 años. En la muestra se ha detectado que la cantidad de 14C^{14}\text{C} ha disminuido, respecto de la que había originariamente, un 32 %32\,\%.

a) Calcule la vida media del 14C^{14}\text{C} y el periodo de semidesintegración.

b) Si la muestra actual contiene una masa de 8 μg8\,\mu\text{g} de 14C^{14}\text{C}, ¿qué actividad presenta dicha muestra?

Datos: Número de Avogadro, NA=6,02⋅1023 mol−1N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\,\text{mol}^{-1}; Masa atómica del 14C^{14}\text{C}, M=14,0 uM = 14{,}0\,\text{u}.
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Resultado
  τ=8,30⋅103 an˜osT1/2=5,75⋅103 an˜os  \boxed{\;\tau = 8{,}30\cdot 10^{3}\ \text{años}\qquad T_{1/2} = 5{,}75\cdot 10^{3}\ \text{años}\;}  A=1,31⋅106 Bq  \boxed{\;A = 1{,}31\cdot 10^{6}\ \text{Bq}\;}
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Estrategia

Que la cantidad haya disminuido un 32 % significa que queda el 68 %68\,\% de los núcleos iniciales. Con la ley de desintegración, N=N0 e−λtN = N_0\,e^{-\lambda t}, y la edad conocida, despejamos la constante de desintegración λ\lambda tomando logaritmos.

En a) la vida media es la inversa de λ\lambda, y el periodo de semidesintegración, ln⁡2/λ\ln 2/\lambda.

En b) la actividad es A=λNA = \lambda N: contamos los núcleos que hay en 8 μg8\,\mu\text{g} (moles por el número de Avogadro) y usamos λ\lambda en s−1\text{s}^{-1} para que la actividad salga en becquerelios.
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Desarrollo

a) Queda el 68 %68\,\% de los núcleos al cabo de t=3200t = 3200 años:NN0=e−λt=0,68⟹λ=−ln⁡0,68t=0,38573200=1,205⋅10−4 an˜os−1\frac{N}{N_0} = e^{-\lambda t} = 0{,}68\quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{-\ln 0{,}68}{t} = \frac{0{,}3857}{3200} = 1{,}205\cdot 10^{-4}\ \text{años}^{-1}La vida media es la inversa de la constante de desintegración:τ=1λ=11,205⋅10−4=8,30⋅103 an˜os\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{1{,}205\cdot 10^{-4}} = 8{,}30\cdot 10^{3}\ \text{años}Y el periodo de semidesintegración:T1/2=ln⁡2λ=τln⁡2=5,75⋅103 an˜osT_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \tau\ln 2 = 5{,}75\cdot 10^{3}\ \text{años}Muy cerca del valor tabulado del carbono-14 (57305730 años). Comprobación: 32003200 años son 0,560{,}56 semividas, y 2−0,56=0,682^{-0{,}56} = 0{,}68.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Número de núcleos en 8 μg=8⋅10−6 g8\,\mu\text{g} = 8\cdot 10^{-6}\,\text{g} de 14C^{14}\text{C} (masa molar 14,0 g/mol14{,}0\,\text{g/mol}):N=8⋅10−614,0⋅6,02⋅1023=3,44⋅1017 nuˊcleosN = \frac{8\cdot 10^{-6}}{14{,}0}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 3{,}44\cdot 10^{17}\ \text{núcleos}Pasamos λ\lambda a s−1\text{s}^{-1}, con 1 an˜o=365⋅86 400=3,154⋅107 s1\ \text{año} = 365\cdot 86\,400 = 3{,}154\cdot 10^{7}\,\text{s}:λ=1,205⋅10−43,154⋅107=3,82⋅10−12 s−1\lambda = \frac{1{,}205\cdot 10^{-4}}{3{,}154\cdot 10^{7}} = 3{,}82\cdot 10^{-12}\ \text{s}^{-1}La actividad es:A=λ N=3,82⋅10−12⋅3,44⋅1017=1,31⋅106 BqA = \lambda\,N = 3{,}82\cdot 10^{-12}\cdot 3{,}44\cdot 10^{17} = 1{,}31\cdot 10^{6}\ \text{Bq}Más de un millón de desintegraciones por segundo.
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Consejo

Lee bien el porcentaje: «ha disminuido un 32 %» significa que queda el 68 %. Usar 0,32 en lugar de 0,68 da un periodo de semidesintegración de unos 1950 años, muy lejos del real.

No confundas la vida media (τ=1/λ\tau = 1/\lambda) con el periodo de semidesintegración (T1/2=ln⁡2/λT_{1/2} = \ln 2/\lambda): la vida media siempre es mayor, τ≈1,44 T1/2\tau \approx 1{,}44\,T_{1/2}.

Para dar la actividad en becquerelios, λ\lambda tiene que ir en s−1\text{s}^{-1}.
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