FísicaMedioProblema · 2 pts

Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Comunidad de Madrid · 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

Un positrón, partícula idéntica al electrón pero con carga positiva, es acelerado mediante una diferencia de potencial

\Delta V

para posteriormente introducirse en una región del espacio en la que hay un campo magnético

B = 5\,\mu\text{T}

perpendicular a la velocidad del positrón. Sabiendo que el radio de la órbita circular que describe el positrón es

50\,\text{cm}

, obtenga:

a) El valor de la diferencia de potencial

\Delta V

utilizada para acelerar el positrón.

b) El valor de la frecuencia angular de giro del positrón en dicha órbita.

Datos: Valor absoluto de la carga del positrón,

e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}

; Masa del positrón,

m_p = 9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\Delta V = 0{,}549\ \text{V}\;}

\boxed{\;\omega = 8{,}79\cdot 10^{5}\ \text{rad/s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El problema tiene dos tramos. Primero el campo eléctrico acelera el positrón desde el reposo: toda la energía que pierde como energía potencial,

e\,\Delta V

, la gana como cinética. Después, dentro del campo magnético, la fuerza de Lorentz es perpendicular a la velocidad: no cambia su módulo, solo la curva, y hace de fuerza centrípeta.

En a) vamos hacia atrás: del radio de la órbita sacamos la velocidad, y de la velocidad, la diferencia de potencial que la produjo.

En b) la frecuencia angular es

\omega = v/r

, que resulta no depender de la velocidad:

\omega = eB/m

Desarrollo

a) En el campo magnético, la fuerza de Lorentz (

F = e\,v\,B

, con

\vec v \perp \vec B

) es la fuerza centrípeta:

e\,v\,B = m_p\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \frac{e\,B\,r}{m_p} = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 5\cdot 10^{-6}\cdot 0{,}5}{9{,}1\cdot 10^{-31}} = 4{,}40\cdot 10^{5}\ \text{m/s}

Durante la aceleración, partiendo del reposo, el trabajo del campo eléctrico se convierte en energía cinética:

e\,\Delta V = \frac{1}{2}\,m_p\,v^2\quad\Longrightarrow\quad \Delta V = \frac{m_p\,v^2}{2e} = \frac{e\,B^2 r^2}{2\,m_p}

\Delta V = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot\left(5\cdot 10^{-6}\right)^2\cdot 0{,}5^2}{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}} = 0{,}549\ \text{V}

Basta medio voltio: el campo magnético es muy débil (

5\,\mu\text{T}

, la décima parte del terrestre), así que un positrón lento ya describe una órbita de

50\,\text{cm}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) La frecuencia angular es la velocidad entre el radio:

\omega = \frac{v}{r} = \frac{e\,B}{m_p} = \frac{1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 5\cdot 10^{-6}}{9{,}1\cdot 10^{-31}} = 8{,}79\cdot 10^{5}\ \text{rad/s}

Es decir, unas

1{,}40\cdot 10^{5}

vueltas por segundo, con un periodo de

7{,}15\,\mu\text{s}

Consejo

Cuidado con el prefijo: $B = 5\,\mu\text{T} = 5\cdot 10^{-6}\,\text{T}$ . Si lo tomas como $5\,\text{T}$ , la diferencia de potencial sale $10^{12}$ veces mayor y el positrón iría más rápido que la luz.

La frecuencia angular de giro, $\omega = qB/m$ , no depende ni de la velocidad ni del radio: partículas iguales en el mismo campo giran al mismo ritmo, aunque unas describan círculos más grandes que otras.