FísicaMedioProblema · 2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

La expresión matemática de una onda transversal que se propaga a lo largo del eje

x

viene determinada por la siguiente expresión en unidades del S.I.:

y(x, t) = 0{,}05\cos\left(8\pi t - 4\pi x + \varphi_0\right)

Determine:

a) El valor de la fase inicial

\varphi_0

, si sabemos que en el instante

t = 5\,\text{s}

la velocidad de oscilación de un punto situado en

x = 3\,\text{m}

es nula y su aceleración es positiva.

b) El tiempo que tardará en llegar la onda al punto

x = 8\,\text{m}

si suponemos que la fuente generadora de dicha onda comienza a emitir en

t = 0

en el origen de coordenadas.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\varphi_0 = \pi\ \text{rad}\;}

\boxed{\;t = 4\ \text{s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada punto de la cuerda hace un movimiento armónico simple. Derivando

y(x, t)

respecto al tiempo obtenemos su velocidad y su aceleración de vibración.

En a) sustituimos

t = 5\,\text{s}

x = 3\,\text{m}

: la fase total resulta ser

28\pi + \varphi_0

, y como

28\pi

es un número entero de vueltas, todo depende de

\varphi_0

. Velocidad nula significa que el punto está en un extremo; aceleración positiva, que es el extremo de abajo (

y = -A

).

En b) la onda avanza con velocidad constante

v = \omega/k

; el tiempo es la distancia entre la velocidad.

Desarrollo

a) Leemos de la ecuación:

A = 0{,}05\,\text{m}

\omega = 8\pi\,\text{rad/s}

k = 4\pi\,\text{rad/m}

. Velocidad y aceleración de vibración de un punto:

v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = -0{,}05\cdot 8\pi\,\sin\left(8\pi t - 4\pi x + \varphi_0\right)

a_y = \frac{\partial v_y}{\partial t} = -0{,}05\cdot 64\pi^2\cos\left(8\pi t - 4\pi x + \varphi_0\right) = -\omega^2\,y

t = 5\,\text{s}

x = 3\,\text{m}

, la fase vale

8\pi\cdot 5 - 4\pi\cdot 3 + \varphi_0 = 28\pi + \varphi_0

y, como

28\pi

son 14 vueltas completas,

\sin(28\pi + \varphi_0) = \sin\varphi_0

\cos(28\pi + \varphi_0) = \cos\varphi_0

. Las dos condiciones quedan:

v_y = 0\ \Longrightarrow\ \sin\varphi_0 = 0\ \Longrightarrow\ \varphi_0 = 0\ \text{o}\ \varphi_0 = \pi

a_y > 0\ \Longrightarrow\ -\omega^2 A\cos\varphi_0 > 0\ \Longrightarrow\ \cos\varphi_0 < 0\ \Longrightarrow\ \varphi_0 = \pi

Con

\varphi_0 = \pi\,\text{rad}

el punto está en

y = 0{,}05\cos\pi = -0{,}05\,\text{m}

: en el extremo inferior, parado un instante y empujado hacia arriba.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

(La simulación escribe la onda con seno:

0{,}05\cos(\theta + \pi) = 0{,}05\sin(\theta - \pi/2)

, de ahí su fase

-\pi/2

.)

b) El signo menos entre

8\pi t

4\pi x

indica que la onda viaja hacia

+x

. Su velocidad de propagación es

v = \frac{\omega}{k} = \frac{8\pi}{4\pi} = 2\ \text{m/s}

(equivale a

\lambda = 2\pi/k = 0{,}5\,\text{m}

T = 2\pi/\omega = 0{,}25\,\text{s}

, con

v = \lambda/T

). Si empieza a emitir en el origen en

t = 0

, el frente de onda llega a

x = 8\,\text{m}

t = \frac{x}{v} = \frac{8}{2} = 4\ \text{s}

Consejo

No confundas la velocidad de propagación de la onda ( $v = \omega/k$ , constante) con la velocidad de vibración de cada punto ( $\partial y/\partial t$ , que cambia con el tiempo). El apartado a) pregunta por la segunda; el b), por la primera.

Para elegir entre dos fases posibles, usa la segunda condición: aquí, $a = -\omega^2 y$ , así que aceleración positiva significa elongación negativa.