FísicaMedioProblema · 2 pts

Efecto fotoeléctrico y cuantización

También trata: Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre
Comunidad de Madrid · 2019 · Julio · Opción A
Enunciado
Si iluminamos un cierto material con una luz de longitud de onda λ=589 nm\lambda = 589\,\text{nm} se liberan electrones con una energía cinética máxima de 0,577 eV0{,}577\,\text{eV}. Por otro lado al iluminarlo con luz ultravioleta de longitud de onda λ=179,76 nm\lambda = 179{,}76\,\text{nm}, la energía cinética máxima de los electrones emitidos es 5,38 eV5{,}38\,\text{eV}. Determine:

a) El valor de la constante de Planck y el trabajo de extracción del material.

b) La longitud de onda de de Broglie del electrón con energía cinética máxima para el caso en el que se ilumine el material con la luz ultravioleta.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e=1,6⋅10−19 Ce = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}; Masa en reposo del electrón, me=9,1⋅10−31 kgm_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}; Velocidad de la luz en el vacío, c=3⋅108 m s−1c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}.
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Resultado
  h=6,63⋅10−34 J sW0=2,45⋅10−19 J=1,53 eV  \boxed{\;h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}\qquad W_0 = 2{,}45\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 1{,}53\ \text{eV}\;}  λdB=5,29⋅10−10 m  \boxed{\;\lambda_{\text{dB}} = 5{,}29\cdot 10^{-10}\ \text{m}\;}
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Estrategia

En a) la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, hc/λ=W0+Ec,maˊxhc/\lambda = W_0 + E_{c,\text{máx}}, tiene dos incógnitas: hh y W0W_0. Como nos dan dos experiencias con el mismo material, tenemos dos ecuaciones. Restándolas desaparece W0W_0 y sale hh; después, con cualquiera de las dos, el trabajo de extracción.

En b) el electrón más rápido tiene una energía cinética de 5,38 eV5{,}38\,\text{eV}. De ella sale su cantidad de movimiento, p=2mEcp = \sqrt{2 m E_c} (no es relativista: 5 eV5\,\text{eV} es nada frente a los 511 keV511\,\text{keV} de su energía en reposo), y la longitud de onda de De Broglie es λ=h/p\lambda = h/p.
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Desarrollo

a) Pasamos las energías cinéticas a julios:Ec1=0,577⋅1,6⋅10−19=9,23⋅10−20 JEc2=5,38⋅1,6⋅10−19=8,61⋅10−19 JE_{c1} = 0{,}577\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19} = 9{,}23\cdot 10^{-20}\ \text{J}\qquad E_{c2} = 5{,}38\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19} = 8{,}61\cdot 10^{-19}\ \text{J}Ecuación de Einstein para cada luz:hcλ1=W0+Ec1hcλ2=W0+Ec2\frac{hc}{\lambda_1} = W_0 + E_{c1}\qquad\qquad \frac{hc}{\lambda_2} = W_0 + E_{c2}Restando la primera de la segunda se elimina W0W_0:h c(1λ2−1λ1)=Ec2−Ec1⟹h=Ec2−Ec1c(1λ2−1λ1)h\,c\left(\frac{1}{\lambda_2} - \frac{1}{\lambda_1}\right) = E_{c2} - E_{c1}\quad\Longrightarrow\quad h = \frac{E_{c2} - E_{c1}}{c\left(\dfrac{1}{\lambda_2} - \dfrac{1}{\lambda_1}\right)}h=8,608⋅10−19−9,232⋅10−203⋅108(1179,76⋅10−9−1589⋅10−9)=7,685⋅10−191,160⋅1015=6,63⋅10−34 J sh = \frac{8{,}608\cdot 10^{-19} - 9{,}232\cdot 10^{-20}}{3\cdot 10^{8}\left(\dfrac{1}{179{,}76\cdot 10^{-9}} - \dfrac{1}{589\cdot 10^{-9}}\right)} = \frac{7{,}685\cdot 10^{-19}}{1{,}160\cdot 10^{15}} = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}Con la primera luz, cuyos fotones tienen hc/λ1=3,38⋅10−19 Jhc/\lambda_1 = 3{,}38\cdot 10^{-19}\,\text{J} (2,11 eV2{,}11\,\text{eV}):W0=hcλ1−Ec1=3,376⋅10−19−9,23⋅10−20=2,45⋅10−19 J=1,53 eVW_0 = \frac{hc}{\lambda_1} - E_{c1} = 3{,}376\cdot 10^{-19} - 9{,}23\cdot 10^{-20} = 2{,}45\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 1{,}53\ \text{eV}Con la segunda luz sale lo mismo (6,91 eV−5,38 eV=1,53 eV6{,}91\,\text{eV} - 5{,}38\,\text{eV} = 1{,}53\,\text{eV}), lo que confirma el resultado.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Cantidad de movimiento del electrón más rápido:p=2 me Ec2=2⋅9,1⋅10−31⋅8,608⋅10−19=1,25⋅10−24 kg m s−1p = \sqrt{2\,m_e\,E_{c2}} = \sqrt{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 8{,}608\cdot 10^{-19}} = 1{,}25\cdot 10^{-24}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}Longitud de onda de De Broglie (con la hh del apartado anterior):λdB=hp=6,63⋅10−341,25⋅10−24=5,29⋅10−10 m\lambda_{\text{dB}} = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{1{,}25\cdot 10^{-24}} = 5{,}29\cdot 10^{-10}\ \text{m}Medio nanómetro: del orden del tamaño de los átomos, por eso los electrones se difractan en los cristales.
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Consejo

Cuando un problema da dos experiencias con el mismo metal, es un sistema de dos ecuaciones: el trabajo de extracción es el mismo en ambas y se elimina restando.

No mezcles electronvoltios y julios en la misma ecuación. Pasa todo a julios antes de operar y, si quieres, da el trabajo de extracción también en eV al final.
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