Campo y potencial gravitatorio

Carácter conservativo. Una fuerza (o un campo) es conservativa si el trabajo que realiza al llevar una partícula de un punto A a otro B solo depende de esos dos puntos y no del camino seguido. De forma equivalente, el trabajo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo:$$\oint \vec F\cdot d\vec r = 0$$La fuerza gravitatoria que una masa $M$ ejerce sobre otra $m$ es$$\vec F = -\,\frac{G\,M\,m}{r^2}\,\vec u_r$$Es una fuerza central: siempre está dirigida hacia $M$ y su módulo solo depende de la distancia $r$. En cualquier desplazamiento $d\vec r$, solo la componente radial $dr$ hace trabajo ($\vec u_r\cdot d\vec r = dr$); los tramos perpendiculares al radio (sobre una esfera centrada en $M$) no aportan nada. Por eso el trabajo depende solo de las distancias inicial y final, y el campo es conservativo. Como consecuencia, se puede asociar a cada punto una energía potencial y se conserva la energía mecánica si solo actúa la gravedad.

Trabajo del campo. Llevamos $m$ de A (a distancia $r_A$) a B (a distancia $r_B$):$$W_{A\to B} = \int_A^B \vec F\cdot d\vec r = -\,G\,M\,m\int_{r_A}^{r_B}\frac{dr}{r^2} = G\,M\,m\left[\frac{1}{r}\right]_{r_A}^{r_B} = \frac{G\,M\,m}{r_B} - \frac{G\,M\,m}{r_A}$$Si definimos la energía potencial gravitatoria, con origen ($E_p = 0$) en el infinito,$$E_p(r) = -\,\frac{G\,M\,m}{r}\qquad (\text{J})$$el resultado anterior se escribe$$W_{A\to B} = E_p(A) - E_p(B) = -\,\Delta E_p$$El trabajo que realiza el campo es igual a menos la variación de la energía potencial. Interpretación:

• Si la masa se acerca a $M$ ($r_B < r_A$), $E_p$ disminuye ($\Delta E_p < 0$) y $W > 0$: el campo hace el trabajo de forma espontánea.
• Si se aleja ($r_B > r_A$), $E_p$ aumenta y $W < 0$: hace falta una fuerza externa que realice, como mínimo, un trabajo $\Delta E_p$.
• En una trayectoria cerrada, A = B y $W = 0$, como corresponde a un campo conservativo.

Cerca de la superficie terrestre, con el origen en el suelo, se usa la aproximación $E_p = mgh$ y el mismo resultado: $W = -\,mg\,\Delta h$.