Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje $x$ se describe con$$y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - k x)$$donde $A$ es la amplitud (m), $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$ la frecuencia angular (rad/s) y $k = 2\pi/\lambda$ el número de onda (rad/m).

Velocidad de propagación. Un estado de vibración (por ejemplo, una cresta) avanza una longitud de onda $\lambda$ en un periodo $T$. También se obtiene siguiendo un punto de fase constante: si $\omega t - kx = \text{cte}$, entonces $\omega\,dt - k\,dx = 0$ y$$v = \frac{dx}{dt} = \frac{\omega}{k} = \frac{\lambda}{T} = \lambda f$$Se mide en m/s. Es constante en un medio homogéneo y solo depende de las propiedades del medio (por ejemplo, en una cuerda $v = \sqrt{T_{\text{tensión}}/\mu}$; en el aire, de su temperatura), no de la amplitud ni de la frecuencia de la fuente. Lo que se propaga es la perturbación y la energía, no la materia.

Velocidad de vibración. Cada partícula del medio, en una posición fija $x$, oscila con un movimiento armónico simple. Su velocidad es la derivada de la elongación respecto del tiempo con $x$ constante:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\,\cos(\omega t - k x)$$También se mide en m/s, pero varía con el tiempo y con la posición: es nula en los extremos de la oscilación ($y = \pm A$) y máxima al pasar por la posición de equilibrio ($y = 0$), donde vale$$v_{y,\text{máx}} = A\,\omega = 2\pi f A$$Depende de la fuente (amplitud y frecuencia), no del medio.

Interpretación. Son dos velocidades distintas:

• $v$ es la rapidez con que viaja la onda a lo largo del medio; es la misma en todos los puntos y en todo instante.
• $v_y$ es la rapidez con que se mueve cada partícula alrededor de su posición de equilibrio; cambia de un instante a otro y de un punto a otro, y las partículas no avanzan con la onda.
• En una onda transversal (una cuerda) $v_y$ es perpendicular a la dirección de propagación; en una longitudinal (el sonido), paralela.

Por ejemplo, en una cuerda con $A = 0{,}05\ \text{m}$, $f = 2\ \text{Hz}$ y $\lambda = 1{,}2\ \text{m}$, la onda avanza a $v = 2{,}4\ \text{m/s}$ mientras que cada punto llega como mucho a $v_{y,\text{máx}} = 0{,}628\ \text{m/s}$: no tienen por qué parecerse.