Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Leemos las magnitudes de la onda comparando con $y = A\,\text{sen}(\omega t - kx)$:$$A = 30\ \text{cm}\qquad \omega = 0{,}4\pi\ \text{rad/s}\qquad k = 2\pi\ \text{rad/cm}$$El punto está a $x = 0{,}06\ \text{m} = 6\ \text{cm}$ del foco. Su fase en $t = 4\ \text{s}$ es:$$\varphi = \pi\,(0{,}4\cdot 4 - 2\cdot 6) = \pi\,(1{,}6 - 12) = -10{,}4\,\pi\ \text{rad}$$a) Elongación:$$y = 30\,\text{sen}(-10{,}4\,\pi) = -30\,\text{sen}(0{,}4\,\pi) = -30\cdot 0{,}951 = -28{,}5\ \text{cm} = -0{,}285\ \text{m}$$(Hemos quitado $10\pi$, cinco vueltas completas, que no cambian el seno.) El punto está por debajo de su posición de equilibrio, cerca de su máximo desplazamiento.

b) La velocidad de vibración es la derivada de $y$ respecto de $t$, con $x$ fijo:$$v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = 30\cdot 0{,}4\pi\,\cos\pi\,(0{,}4\,t - 2\,x) = 12\pi\,\cos\pi\,(0{,}4\,t - 2\,x)\ \ \text{cm/s}$$En $x = 6\ \text{cm}$ y $t = 4\ \text{s}$:$$v_y = 12\pi\,\cos(-10{,}4\,\pi) = 12\pi\cdot\cos(0{,}4\,\pi) = 37{,}7\cdot 0{,}309 = 11{,}6\ \text{cm/s} = 0{,}116\ \text{m/s}$$Es positiva: el punto sube hacia la posición de equilibrio. Como está cerca del extremo, su velocidad es pequeña comparada con la máxima, $12\pi = 37{,}7\ \text{cm/s}$.

Un detalle de la ecuación: la onda avanza a $v = \omega/k = 0{,}4\pi/2\pi = 0{,}2\ \text{cm/s}$, así que, si se hubiera emitido en $t = 0$, en $t = 4\ \text{s}$ aún no habría llegado a 6 cm. El enunciado supone (como es habitual) que la onda ya ocupa toda la cuerda, y por eso basta con sustituir.