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Núcleo atómico y reacciones nucleares

Extremadura · 2019 · Julio · Opción B

Enunciado

Expresa, según la Teoría Especial de la Relatividad, la energía de un cuerpo en función de su masa en reposo y su velocidad.

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Resultado

E = \gamma\,m_0\,c^2 = m_0c^2/\sqrt{1 - v^2/c^2}

: energía en reposo

m_0c^2

más energía cinética

(\gamma - 1)\,m_0c^2

, que para

v \ll c

se reduce a

\tfrac12 m_0 v^2

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En relatividad especial la energía total de un cuerpo es su masa en reposo por

c^2

multiplicada por el factor de Lorentz

\gamma

, que crece sin límite al acercarse la velocidad a la de la luz. Hay que escribir la expresión, explicar cada magnitud y separar la energía en reposo de la cinética; queda completo comprobando que a velocidades pequeñas se recupera la energía cinética clásica.

Desarrollo

Energía total. Según la teoría especial de la relatividad, un cuerpo de masa en reposo

m_0

que se mueve con velocidad

v

tiene una energía total:

E = \gamma\,m_0\,c^2 = \frac{m_0\,c^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}

donde:

$E$ es la energía total del cuerpo, en julios (J);
$m_0$ es su masa en reposo (masa propia), en kg;
$v$ es su velocidad respecto del observador, en m/s;
$c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ es la velocidad de la luz en el vacío;
$\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ es el factor de Lorentz, adimensional y siempre $\geq 1$ .

Energía en reposo. Si el cuerpo está quieto (

v = 0

\gamma = 1

), le queda la energía asociada a su masa, la famosa equivalencia masa-energía de Einstein:

E_0 = m_0\,c^2

Energía cinética. Es la diferencia entre la energía total y la energía en reposo:

E_c = E - E_0 = (\gamma - 1)\,m_0\,c^2

Límite clásico. Si

v \ll c

, se puede aproximar

\gamma \approx 1 + \dfrac{v^2}{2c^2}

y se recupera la expresión de Newton:

E_c \approx \frac{v^2}{2c^2}\,m_0\,c^2 = \frac12\,m_0\,v^2

Consecuencia. Cuando

v \to c

\gamma \to \infty

y la energía necesaria se hace infinita: ningún cuerpo con masa puede alcanzar la velocidad de la luz.

La energía también se puede relacionar con el momento lineal relativista

p = \gamma m_0 v

mediante

E^2 = p^2c^2 + m_0^2c^4

Consejo

Distingue las tres energías: total $\gamma m_0c^2$ , en reposo $m_0c^2$ y cinética $(\gamma-1)m_0c^2$ . Confundir la total con la cinética es el error más frecuente.

Comprobar que a baja velocidad sale $\tfrac12 m_0 v^2$ es una forma rápida de demostrar que entiendes la fórmula, y el corrector lo valora.