FísicaMedio2 pts

Radiactividad y desintegración

Extremadura · 2019 · Julio · Opción A

Enunciado

Se quiere determinar la antigüedad de un trozo de madera prehistórica por el método del C-14. Para ello se sabe que 50 g de madera presenta una actividad de 250 desintegraciones por minuto. Y que la planta viva tiene una actividad de 15 desintegraciones por minuto y por gramo. Suponiendo que la actividad de la planta viva era la actividad inicial de la madera, determínese:

a) la constante de desintegración radiactiva del C-14, y

b) la antigüedad del trozo de madera.

Datos: periodo de semidesintegración del C-14

= 5730

años.

(Calificación de cada apartado, 1 punto).

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Resultado

\boxed{\;\lambda = 1{,}21\cdot 10^{-4}\ \text{años}^{-1} = 3{,}83\cdot 10^{-12}\ \text{s}^{-1}\;}

\boxed{\;t \approx 9{,}08\cdot 10^{3}\ \text{años}\;}

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Estrategia

La constante de desintegración sale directamente del periodo de semidesintegración:

\lambda = \ln 2/T_{1/2}

. Para la antigüedad comparamos actividades por gramo, porque la muestra tiene 50 g y el dato de la planta viva es por gramo. La actividad decae con la misma exponencial que el número de núcleos,

A = A_0\,e^{-\lambda t}

, y de ahí despejamos

t

con logaritmos.

Desarrollo

a) La constante de desintegración y el periodo de semidesintegración están relacionados por:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5730\ \text{años}} = 1{,}21\cdot 10^{-4}\ \text{años}^{-1}

En el SI (con

1\ \text{año} = 365{,}25\cdot 86\,400\ \text{s} = 3{,}156\cdot 10^{7}\ \text{s}

\lambda = \frac{1{,}21\cdot 10^{-4}}{3{,}156\cdot 10^{7}\ \text{s}} = 3{,}83\cdot 10^{-12}\ \text{s}^{-1}

b) Actividad actual por gramo de la madera:

A = \frac{250\ \text{des/min}}{50\ \text{g}} = 5\ \text{des}/(\text{min}\cdot\text{g})

La actividad inicial es la de la planta viva,

A_0 = 15\ \text{des}/(\text{min}\cdot\text{g})

. La actividad es proporcional al número de núcleos de C-14, así que sigue la ley de desintegración:

A = A_0\,e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{\lambda}\ln\frac{A_0}{A}

t = \frac{\ln(15/5)}{1{,}21\cdot 10^{-4}\ \text{años}^{-1}} = \frac{\ln 3}{1{,}21\cdot 10^{-4}} = 9{,}08\cdot 10^{3}\ \text{años}

Tiene sentido: a la madera le queda un tercio de la actividad inicial, algo menos de la mitad, así que han pasado algo más de un periodo de semidesintegración (en concreto,

\ln 3/\ln 2 = 1{,}58

periodos).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Compara siempre actividades de la misma cantidad de muestra: aquí 250 des/min son de 50 g y los 15 des/min de la planta son por gramo. Si no divides, sale un logaritmo negativo.

Trabaja $\lambda$ en años⁻¹ y el tiempo saldrá directamente en años; no hace falta pasar al SI.