Campo y potencial gravitatorio

Distancias al centro de la Tierra, en el SI:$$R_T = 6{,}371\cdot 10^{6}\ \text{m}\qquad r_0 = R_T + 4000\ \text{m} = 6{,}375\cdot 10^{6}\ \text{m}$$El producto que aparece en las energías potenciales es:$$G\,M_T = 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24} = 3{,}989\cdot 10^{14}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}$$La fuerza gravitatoria es conservativa y no hay rozamiento, así que la energía mecánica en el lanzamiento (radio $r_0$, velocidad $v_0$) es la misma que en el punto más alto (radio $r$, velocidad nula):$$\frac12 m v_0^2 - \frac{G M_T m}{r_0} = -\frac{G M_T m}{r}$$Dividimos entre $m$ y calculamos el primer miembro (energía mecánica por unidad de masa):$$\frac12 v_0^2 = \frac12\left(6\cdot 10^{3}\right)^2 = 1{,}80\cdot 10^{7}\ \text{J/kg}\qquad \frac{G M_T}{r_0} = \frac{3{,}989\cdot 10^{14}}{6{,}375\cdot 10^{6}} = 6{,}257\cdot 10^{7}\ \text{J/kg}$$$$\frac{E}{m} = 1{,}80\cdot 10^{7} - 6{,}257\cdot 10^{7} = -4{,}457\cdot 10^{7}\ \text{J/kg}$$Es negativa: el proyectil no escapa (la velocidad de escape desde allí sería $\sqrt{2GM_T/r_0} = 11{,}2\ \text{km/s}$). Despejamos el radio del punto más alto:$$r = \frac{G M_T}{-E/m} = \frac{3{,}989\cdot 10^{14}}{4{,}457\cdot 10^{7}} = 8{,}950\cdot 10^{6}\ \text{m}$$La altura sobre la superficie de la Tierra es:$$h = r - R_T = 8{,}950\cdot 10^{6} - 6{,}371\cdot 10^{6} = 2{,}58\cdot 10^{6}\ \text{m}\approx 2580\ \text{km}$$Si se hubiera usado $g$ constante e igual a $g_0 = GM_T/R_T^2 = 9{,}83\ \text{m/s}^2$, saldría $h = v_0^2/2g_0 \approx 1830\ \text{km}$: unos 750 km de menos, porque en realidad la gravedad se va debilitando al subir y el proyectil llega más alto.