FísicaMedio3 pts

Campo y potencial eléctrico

También trata: Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz · Inducción electromagnética

Castilla y León · 2019 · Junio · Opción B

Enunciado

a) (1 punto) Dos cargas puntuales

q_1 = -2\ \mu\text{C}

q_2 = -5\ \mu\text{C}

se encuentran situadas sobre el eje X en los puntos

x_1 = 0\ \text{m}

x_2 = 1{,}6\ \text{m}

, respectivamente. Determine el punto o puntos en los que el campo eléctrico creado por ambas cargas es cero. Realice un esquema ilustrativo.

b) (1 punto) Una partícula con carga eléctrica

Q

entra en una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme. Justifique razonadamente en qué condiciones la trayectoria es rectilínea y en cuáles es circular.

c) (1 punto) Una espira de radio

20\ \text{cm}

se encuentra en el seno de un campo magnético uniforme. El campo es perpendicular al plano de la espira como se muestra en la figura. Si el valor del campo magnético varía en el tiempo conforme a la gráfica dada, determine el valor de la fuerza electromotriz inducida en la espira y el sentido de giro de la corriente en

0 < t < 4\ \text{ms}

A la izquierda, una espira circular en un campo magnético uniforme dibujado con aspas (el campo entra perpendicularmente en el papel). A la derecha, la gráfica del módulo del campo magnético |B| en teslas frente al tiempo t en milisegundos: una recta que sube desde 0 T en t = 0 hasta 0,8 T en t = 4 ms.

Datos (de la tabla de constantes del examen):

K_0 = 1/(4\pi\varepsilon_0) = 9{,}00\cdot 10^{9}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec E = 0\ \text{en}\ x = 0{,}620\ \text{m}\ \ (\text{entre las cargas})\qquad |\varepsilon| = 25{,}1\ \text{V,\ sentido antihorario}\;}

b) Rectilínea si

\vec v \parallel \vec B

(fuerza nula); circular si

\vec v \perp \vec B

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), las dos cargas son negativas, así que sus campos apuntan hacia ellas: solo pueden tener sentidos opuestos entre las dos cargas, y el punto estará más cerca de la menor. En b) se analiza la fuerza de Lorentz

\vec F = Q\,\vec v\times\vec B

según el ángulo entre

\vec v

\vec B

. En c), la gráfica da una variación uniforme de

B

; con la ley de Faraday se obtiene la f.e.m. y con la de Lenz el sentido de la corriente.

Desarrollo

a) Esquema:

q_1

en el origen y

q_2

x = 1{,}6\ \text{m}

, ambas negativas. El campo de cada carga apunta hacia ella.

A la izquierda de $q_1$ ( $x < 0$ ): los dos campos apuntan hacia $+x$ ; se suman y no se anulan.
A la derecha de $q_2$ ( $x > 1{,}6\ \text{m}$ ): los dos apuntan hacia $-x$ ; tampoco se anulan.
Entre las cargas ( $0 < x < 1{,}6\ \text{m}$ ): $\vec E_1$ apunta hacia $-x$ (hacia $q_1$ ) y $\vec E_2$ hacia $+x$ (hacia $q_2$ ). Pueden anularse.

En el punto

x

entre ambas, los módulos deben ser iguales:

K_0\,\frac{|q_1|}{x^2} = K_0\,\frac{|q_2|}{(1{,}6 - x)^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1{,}6 - x}{x} = \sqrt{\frac{5}{2}} = 1{,}581

x = \frac{1{,}6}{1 + \sqrt{2{,}5}} = 0{,}620\ \text{m}

El campo es nulo en el punto

(0{,}620;\ 0)\ \text{m}

, a

0{,}620\ \text{m}

q_1

0{,}980\ \text{m}

q_2

: más cerca de la carga de menor valor absoluto, como debía ser. Es el único punto (fuera del eje los campos no son colineales y no pueden anularse). Comprobación: en ese punto, cada campo vale

4{,}68\cdot 10^{4}\ \text{N/C}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Sobre una carga

Q

que se mueve con velocidad

\vec v

en un campo magnético

\vec B

actúa la fuerza de Lorentz:

\vec F = Q\,\vec v\times\vec B\qquad |\vec F| = |Q|\,v\,B\,\text{sen}\,\alpha

donde

\alpha

es el ángulo entre

\vec v

\vec B

. La fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, así que no cambia el módulo de

v

, solo su dirección.

Trayectoria rectilínea: si $\vec v$ es paralela o antiparalela a $\vec B$ ( $\alpha = 0^\circ$ o $180^\circ$ ), $\text{sen}\,\alpha = 0$ y la fuerza es nula: la partícula sigue en línea recta con velocidad constante (también, trivialmente, si $Q = 0$ ).
Trayectoria circular: si $\vec v$ es perpendicular a $\vec B$ ( $\alpha = 90^\circ$ ), la fuerza tiene módulo constante $|Q|vB$ y es siempre perpendicular a $\vec v$ y contenida en el plano perpendicular a $\vec B$ : actúa como fuerza centrípeta y la partícula describe un movimiento circular uniforme de radio

|Q|\,v\,B = m\,\frac{v^2}{R}\quad\Longrightarrow\quad R = \frac{m\,v}{|Q|\,B}

En cualquier otro caso, la componente de

\vec v

paralela a

\vec B

se mantiene y la perpendicular gira: la trayectoria es una hélice.

c) El campo es perpendicular al plano de la espira, así que el flujo es

\Phi = B\,S

, con

S = \pi r^2 = \pi\cdot 0{,}20^2 = 0{,}126\ \text{m}^2

Según la gráfica,

B

crece uniformemente de

0

0{,}8\ \text{T}

4\ \text{ms}

\frac{dB}{dt} = \frac{0{,}8 - 0}{4\cdot 10^{-3}} = 200\ \text{T/s}

Ley de Faraday:

|\varepsilon| = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = S\,\frac{dB}{dt} = 0{,}1257\cdot 200 = 25{,}1\ \text{V}

Es constante durante todo el intervalo

0 < t < 4\ \text{ms}

.

Sentido (ley de Lenz): el campo entra en el papel y aumenta, así que aumenta el flujo entrante. La corriente inducida crea un campo que se opone a ese aumento, es decir, un campo que sale del papel en el interior de la espira. Por la regla de la mano derecha, eso corresponde a una corriente en sentido antihorario vista tal como está dibujada la figura.

Consejo

Con dos cargas del mismo signo, el campo se anula entre ellas; con signos opuestos, fuera, del lado de la menor. Decide la zona con el esquema antes de escribir ninguna ecuación.

En Lenz, razona en dos pasos: qué le pasa al flujo (entra y crece) y qué campo crea la corriente para oponerse (sale). El sentido de giro sale de ahí con la mano derecha.

Paso 1 de 3

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