FísicaFácil2 pts

Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla y León · 2019 · Junio · Opción B
Enunciado
Un satélite artificial de 1500 kg1500\ \text{kg} describe una órbita circular de 6500 km6500\ \text{km} de radio alrededor de la Tierra.

a) (1,2 puntos) Calcule la velocidad, el periodo y la energía mecánica del satélite.

b) (0,8 puntos) Determine la velocidad de escape para el satélite desde esa órbita.

Datos (de la tabla de constantes del examen): G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; MT=5,98⋅1024 kgM_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}.
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Resultado
  v=7,83⋅103 m/sT=5,21⋅103 sE=−4,60⋅1010 J  \boxed{\;v = 7{,}83\cdot 10^{3}\ \text{m/s}\qquad T = 5{,}21\cdot 10^{3}\ \text{s}\qquad E = -4{,}60\cdot 10^{10}\ \text{J}\;}  ve=1,11⋅104 m/s  \boxed{\;v_e = 1{,}11\cdot 10^{4}\ \text{m/s}\;}
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Estrategia

En la órbita circular, la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta: de ahí sale la velocidad orbital, y el periodo es la longitud de la órbita dividida entre esa velocidad. La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial, que en órbita circular se reduce a E=−GMTm/2rE = -GM_Tm/2r. La velocidad de escape desde la órbita es la que hace nula la energía mecánica.
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Desarrollo

Radio de la órbita en el SI: r=6500 km=6,50⋅106 mr = 6500\ \text{km} = 6{,}50\cdot 10^{6}\ \text{m} (el satélite está a unos 130 km130\ \text{km} sobre la superficie).

a) Igualando la fuerza gravitatoria a la centrípeta:G MT mr2=m v2r⟹v=G MTr\frac{G\,M_T\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G\,M_T}{r}}v=6,67⋅10−11⋅5,98⋅10246,50⋅106=7,83⋅103 m/sv = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{6{,}50\cdot 10^{6}}} = 7{,}83\cdot 10^{3}\ \text{m/s}Periodo (tiempo en dar una vuelta completa):T=2πrv=2π⋅6,50⋅1067,834⋅103=5,21⋅103 s  (≈86,9 min)T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 6{,}50\cdot 10^{6}}{7{,}834\cdot 10^{3}} = 5{,}21\cdot 10^{3}\ \text{s}\ \ (\approx 86{,}9\ \text{min})Energía mecánica: E=Ec+Ep=12mv2−GMTmrE = E_c + E_p = \frac12 m v^2 - \frac{G M_T m}{r}, y como v2=GMT/rv^2 = GM_T/r:E=12 G MT mr−G MT mr=−G MT m2rE = \frac{1}{2}\,\frac{G\,M_T\,m}{r} - \frac{G\,M_T\,m}{r} = -\frac{G\,M_T\,m}{2r}E=−6,67⋅10−11⋅5,98⋅1024⋅15002⋅6,50⋅106=−4,60⋅1010 JE = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}\cdot 1500}{2\cdot 6{,}50\cdot 10^{6}} = -4{,}60\cdot 10^{10}\ \text{J}Es negativa: el satélite está ligado a la Tierra.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
b) Para escapar, el satélite tiene que llegar al infinito (donde Ep=0E_p = 0) con velocidad nula como mínimo, es decir, su energía mecánica debe ser cero:12 m ve2−G MT mr=0⟹ve=2 G MTr=2  v\frac{1}{2}\,m\,v_e^2 - \frac{G\,M_T\,m}{r} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M_T}{r}} = \sqrt{2}\;vve=2⋅6,67⋅10−11⋅5,98⋅10246,50⋅106=1,11⋅104 m/sv_e = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}98\cdot 10^{24}}{6{,}50\cdot 10^{6}}} = 1{,}11\cdot 10^{4}\ \text{m/s}No depende de la masa del satélite. Como ya se mueve a 7,83⋅103 m/s7{,}83\cdot 10^{3}\ \text{m/s}, bastaría aumentar su velocidad en la dirección del movimiento hasta 1,11⋅104 m/s1{,}11\cdot 10^{4}\ \text{m/s} (la energía que hay que darle es 4,60⋅1010 J4{,}60\cdot 10^{10}\ \text{J}, el valor absoluto de su energía mecánica).
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Consejo

En órbita circular, Ec=−Ep/2E_c = -E_p/2 y E=Ep/2E = E_p/2: con eso compruebas de un vistazo el signo y el valor de la energía mecánica.

La velocidad de escape desde la órbita es 2\sqrt2 veces la orbital. No la confundas con la de escape desde la superficie, que usa RTR_T en lugar de rr.
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