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Radiactividad y desintegración

También trata: Efecto fotoeléctrico y cuantización

Castilla y León · 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

a) (0,8 puntos) Defina: constante de desintegración y periodo de semidesintegración o semivida de una sustancia radiactiva. Indique sus unidades en el Sistema Internacional. ¿Qué relación existe entre ambas magnitudes?

b) (0,7 puntos) Si el trabajo de extracción de un metal es

1{,}5\ \text{eV}

, determine la frecuencia de los fotones con los que habría que iluminar el metal para que la velocidad máxima de los electrones extraídos fuera

6{,}5\cdot 10^{5}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

.

Datos (de la tabla de constantes del examen):

h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}

;

m_e = 9{,}11\cdot 10^{-31}\ \text{kg}

;

1\ \text{eV} = 1{,}60\cdot 10^{-19}\ \text{J}

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Resultado

\lambda

(en

\text{s}^{-1}

): probabilidad de desintegración por unidad de tiempo;

T_{1/2}

(en s): tiempo en que se desintegra la mitad de la muestra;

T_{1/2} = \ln 2/\lambda

\boxed{\;f = 6{,}52\cdot 10^{14}\ \text{Hz}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) se parte de la ley de desintegración

N = N_0\,e^{-\lambda t}

: la constante

\lambda

es la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo, y la semivida es el tiempo en que

N

se reduce a la mitad; imponiendo

N = N_0/2

sale la relación entre ambas. En b) se aplica la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico,

hf = W_0 + E_{c,\text{máx}}

, con todo en julios.

Desarrollo

a) El número de núcleos sin desintegrar de una muestra disminuye con el tiempo según la ley de desintegración radiactiva:

N = N_0\,e^{-\lambda t}

Constante de desintegración ( $\lambda$ ): es la probabilidad de que un núcleo se desintegre por unidad de tiempo; equivalentemente, la fracción de núcleos que se desintegran por unidad de tiempo, $\lambda = -\dfrac{dN/dt}{N}$ . Es característica de cada nucleido. Unidad en el SI: $\text{s}^{-1}$ .
Periodo de semidesintegración o semivida ( $T_{1/2}$ ): es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de los núcleos de una muestra, es decir, en que $N$ pase a valer $N_0/2$ . Unidad en el SI: el segundo (s).

Relación: imponiendo

N = N_0/2

t = T_{1/2}

\frac{N_0}{2} = N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}}\quad\Longrightarrow\quad \ln 2 = \lambda\,T_{1/2}\quad\Longrightarrow\quad T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{0{,}693}{\lambda}

Son inversamente proporcionales: cuanto mayor es la constante de desintegración, más deprisa se desintegra la sustancia y menor es su semivida.

b) Ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico: la energía del fotón se emplea en arrancar el electrón (

W_0

) y el resto queda como energía cinética máxima del electrón:

h f = W_0 + \frac{1}{2}\,m_e\,v_{\text{máx}}^2

Pasamos el trabajo de extracción a julios y calculamos la energía cinética:

W_0 = 1{,}5\cdot 1{,}60\cdot 10^{-19} = 2{,}40\cdot 10^{-19}\ \text{J}

E_{c,\text{máx}} = \frac{1}{2}\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot \left(6{,}5\cdot 10^{5}\right)^2 = 1{,}92\cdot 10^{-19}\ \text{J}

f = \frac{W_0 + E_{c,\text{máx}}}{h} = \frac{2{,}40\cdot 10^{-19} + 1{,}924\cdot 10^{-19}}{6{,}63\cdot 10^{-34}} = 6{,}52\cdot 10^{14}\ \text{Hz}

Corresponde a una longitud de onda

\lambda = c/f \approx 460\ \text{nm}

(luz azul).

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Deduce la relación $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$ en el examen (son dos líneas): el corrector valora la deducción más que la fórmula recordada.

En el efecto fotoeléctrico, pasa siempre los eV a julios antes de sumar con $\frac12 mv^2$ : mezclar unidades es el error que más puntos cuesta.