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Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Castilla y León · 2019 · Junio · Opción A

Enunciado

a) (1 punto) De un satélite artificial que orbita alrededor de la Tierra se conoce el periodo y el radio de la órbita. ¿Se puede utilizar esta información y la ley fundamental de la dinámica para calcular su masa? ¿Y la masa de la Tierra? Razone las respuestas.

b) (1 punto) Un satélite artificial se pone en órbita a una distancia de la superficie terrestre tal que la aceleración de la gravedad es la tercera parte del valor de dicha aceleración en la superficie terrestre. ¿Cuál es el periodo de revolución del satélite en torno a la Tierra?

Datos (de la tabla de constantes del examen):

g_0 = 9{,}80\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

;

R_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}

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Resultado

a) La masa del satélite se simplifica y no se puede calcular; la de la Tierra sí:

M_T = 4\pi^2 r^3/(G\,T^2)

\boxed{\;r = \sqrt 3\,R_T = 1{,}10\cdot 10^{7}\ \text{m}\qquad T = 1{,}15\cdot 10^{4}\ \text{s} \approx 3{,}21\ \text{h}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En una órbita circular la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta. Al escribir la segunda ley de Newton para el satélite, su masa aparece en los dos miembros y se simplifica: no se puede despejar, pero sí la masa de la Tierra.

En b),

g

disminuye con el cuadrado de la distancia al centro, así que si vale la tercera parte, el radio de la órbita es

\sqrt 3

veces el terrestre. En la órbita, la aceleración centrípeta es precisamente esa

g

, y de ahí sale el periodo.

Desarrollo

a) Para un satélite de masa

m

en órbita circular de radio

r

alrededor de la Tierra (masa

M_T

), la única fuerza es la gravitatoria, que actúa como fuerza centrípeta. Con la ley fundamental de la dinámica,

\sum F = m\,a_c

\frac{G\,M_T\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r} = m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r

Masa del satélite: no. La masa $m$ aparece en los dos miembros (es a la vez la masa gravitatoria que atrae la Tierra y la masa inercial que hay que acelerar) y se simplifica. El movimiento orbital no depende de la masa del satélite: dos satélites de masas distintas en la misma órbita tienen el mismo periodo.
Masa de la Tierra: sí. Al simplificar $m$ queda una relación entre $T$ , $r$ y $M_T$ (la tercera ley de Kepler), de la que se despeja:

M_T = \frac{4\pi^2\,r^3}{G\,T^2}

Conociendo

T

r

(y la constante

G

), se calcula la masa de la Tierra. Así se miden las masas de los planetas que tienen satélites.

b) La gravedad a una distancia

r

del centro de la Tierra y en su superficie son:

g(r) = \frac{G\,M_T}{r^2}\qquad g_0 = \frac{G\,M_T}{R_T^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{g(r)}{g_0} = \frac{R_T^2}{r^2}

g(r) = g_0/3

\frac{R_T^2}{r^2} = \frac{1}{3}\quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{3}\,R_T = \sqrt 3\cdot 6{,}37\cdot 10^{6} = 1{,}10\cdot 10^{7}\ \text{m}

(está a una altura

h = r - R_T = 4{,}66\cdot 10^{6}\ \text{m}

sobre la superficie).

En la órbita circular, la aceleración centrípeta del satélite es la gravedad en ese punto,

g = g_0/3 = 3{,}27\ \text{m}\,\text{s}^{-2}

g = \frac{4\pi^2}{T^2}\,r\quad\Longrightarrow\quad T = 2\pi\sqrt{\frac{r}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{1{,}103\cdot 10^{7}}{3{,}267}} = 1{,}15\cdot 10^{4}\ \text{s}

Es decir, unas

3{,}21

horas. (Con

G\,M_T

en lugar de

g_0R_T^2

sale prácticamente lo mismo:

1{,}15\cdot 10^4\ \text{s}

Consejo

Cuando el enunciado da $g$ en la órbita como fracción de $g_0$ , trabaja con cocientes: el radio sale sin usar ni $G$ ni $M_T$ . Y recuerda que «distancia de la superficie» no es el radio de la órbita: aquí $r = \sqrt 3\,R_T$ se mide desde el centro.

En a), no basta con decir «no»: explica que la masa del satélite se cancela en $F = m\,a$ .

Paso 1 de 3

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