Radiactividad y desintegración

a) Falsa. La actividad de una muestra es el número de núcleos que se desintegran por unidad de tiempo, y es proporcional al número de núcleos radiactivos presentes:$$A = \left|\frac{dN}{dt}\right| = \lambda\,N$$donde $\lambda$ es la constante de desintegración (en $\text{s}^{-1}$) y $N$ el número de núcleos sin desintegrar. Se mide en becquerelios ($1\ \text{Bq} = 1$ desintegración por segundo).

El número de núcleos depende de la masa de sustancia: $N = \dfrac{m}{M}\,N_A$, con $M$ la masa molar y $N_A$ el número de Avogadro. Por tanto, para un mismo isótopo (mismo $\lambda$), el doble de masa tiene el doble de núcleos y el doble de actividad. Lo que sí es independiente de la masa es la constante de desintegración (y el periodo de semidesintegración), que solo depende del isótopo.

Además, como $N$ disminuye con el tiempo, la actividad también lo hace: $A = A_0\,e^{-\lambda t}$.

b) La masa que queda sin desintegrar sigue la ley de desintegración. Escrita con el periodo de semidesintegración:$$m = m_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}} = m_0\left(\frac{1}{2}\right)^{24/10} = m_0\cdot 2^{-2{,}4}$$$$\frac{m}{m_0} = 0{,}189\quad\Longrightarrow\quad 18{,}9\ \%$$Con la constante de desintegración se llega a lo mismo: $\lambda = \ln 2/T_{1/2} = 0{,}0693\ \text{h}^{-1}$ y $m/m_0 = e^{-0{,}0693\cdot 24} = 0{,}189$.

Comprobación aproximada: en 20 horas (dos semividas) quedaría el $25\ \%$, y en 30 horas, el $12{,}5\ \%$; a las 24 horas el valor tiene que estar entre ambos.