Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

a) De la gráfica:

• Amplitud: la elongación máxima es $4\ \text{cm}$, así que $A = 4\ \text{cm} = 0{,}04\ \text{m}$.
• Longitud de onda: las crestas están en $x = 2{,}5\ \text{cm}$ y $x = 12{,}5\ \text{cm}$, así que $\lambda = 10\ \text{cm} = 0{,}10\ \text{m}$.

Número de ondas:$$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}10} = 20\pi\ \text{rad}\,\text{m}^{-1} = 62{,}8\ \text{rad}\,\text{m}^{-1}$$(Si se entiende «número de ondas» como las ondas que caben en un metro, es $1/\lambda = 10\ \text{m}^{-1}$; en la PAU se suele pedir $k$, que es el que aparece en la ecuación de la onda.)

Frecuencia y periodo, con $v = \lambda f$:$$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{0{,}5}{0{,}10} = 5\ \text{Hz}\qquad T = \frac{1}{f} = 0{,}2\ \text{s}$$La frecuencia angular, que hará falta en b), es $\omega = 2\pi f = 10\pi\ \text{rad}\,\text{s}^{-1}$.

b) Una onda que avanza hacia $+x$ tiene la forma$$y(x,t) = A\,\operatorname{sen}\left(\omega t - k x + \varphi_0\right)$$En $t = 0$ la gráfica es $y(x, 0) = 0{,}04\,\operatorname{sen}(k x)$: vale cero en el origen y crece hacia $x$ positivas. Imponemos que la ecuación la reproduzca:$$y(x,0) = A\,\operatorname{sen}\left(\varphi_0 - k x\right) = A\,\operatorname{sen}(k x)\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = \pi\ \text{rad}$$porque $\operatorname{sen}(\pi - kx) = \operatorname{sen}(kx)$. Con ella se cumple también la condición del enunciado: $y(0, 0) = A\,\operatorname{sen}\pi = 0$. La ecuación, en unidades del SI, es:$$y(x,t) = 0{,}04\,\operatorname{sen}\left(10\pi\,t - 20\pi\,x + \pi\right)\ \ \text{m}$$que también puede escribirse $y = 0{,}04\,\operatorname{sen}\left(20\pi\,x - 10\pi\,t\right)$ m.

La condición $y(0,0) = 0$ por sí sola admitiría también $\varphi_0 = 0$, pero esa onda daría en $t = 0$ la gráfica invertida (un valle en $x = 2{,}5\ \text{cm}$); la figura obliga a $\varphi_0 = \pi$.