Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Pasamos el periodo a segundos: $T = 45\cdot 60 = 2700\ \text{s}$. El satélite recorre una circunferencia en un periodo, así que el radio de la órbita es:$$r = \frac{v\,T}{2\pi} = \frac{3{,}1\cdot 10^{4}\cdot 2700}{2\pi} = 1{,}33\cdot 10^{7}\ \text{m}$$La fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta del movimiento circular:$$\frac{G\,M\,m}{r^2} = \frac{m\,v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad M = \frac{v^2\,r}{G}$$$$M = \frac{\left(3{,}1\cdot 10^{4}\right)^2\cdot 1{,}332\cdot 10^{7}}{6{,}67\cdot 10^{-11}} = 1{,}92\cdot 10^{26}\ \text{kg}$$Es unas 32 veces la masa de la Tierra: un planeta gigante, como cabía esperar de una órbita tan rápida.

b) La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial (origen en el infinito):$$E_m = \frac{1}{2}m\,v^2 - \frac{G\,M\,m}{r}$$Como en la órbita $GM/r = v^2$, la energía potencial es $-m v^2$ y queda:$$E_m = \frac{1}{2}m\,v^2 - m\,v^2 = -\frac{1}{2}m\,v^2 = -\frac{1}{2}\cdot 100\cdot \left(3{,}1\cdot 10^{4}\right)^2 = -4{,}81\cdot 10^{10}\ \text{J}$$Es negativa porque el satélite está ligado al planeta: habría que darle $4{,}81\cdot 10^{10}\ \text{J}$ para alejarlo hasta el infinito.