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Problema resuelto de Física: Núcleo atómico y reacciones nuclearesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

La energía cinética de una partícula es un 50% de su energía en reposo. Calcula su energía relativista total en función de su energía en reposo y calcula también la velocidad de la partícula.

Dato: velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m/s}

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Resultado

Energía total: $E = E_0 + E_c = 1{,}5\,E_0$ (factor de Lorentz $\gamma = 1{,}5$ ).
Velocidad: $v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2} = \dfrac{\sqrt5}{3}\,c \approx 0{,}745\,c \approx 2{,}24\cdot10^{8}\,\text{m/s}$ .

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Estrategia

En relatividad, la energía total de una partícula es la suma de su energía en reposo,

E_0 = m_0 c^2

, y de su energía cinética. Si la cinética es la mitad de la de reposo, la total es 1,5 veces la de reposo. Por otro lado, la energía total es

\gamma\,m_0 c^2

, así que el factor de Lorentz vale 1,5, y de él se despeja la velocidad.

Desarrollo

Energía total. La energía relativista total es la energía en reposo más la cinética:

E = E_0 + E_c = E_0 + 0{,}5\,E_0 = 1{,}5\,E_0

Factor de Lorentz. La energía total de una partícula que se mueve con velocidad

v

E = \gamma\,m_0\,c^2 = \gamma\,E_0,\qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

Comparando con lo anterior,

\gamma = 1{,}5

.

Velocidad. Despejando

v

\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{1}{\gamma}\quad\Longrightarrow\quad v = c\,\sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} = c\,\sqrt{1 - \frac{1}{1{,}5^2}} = c\,\sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt5}{3}\,c

v = 0{,}745\,c = 0{,}745\cdot3\cdot10^{8} = 2{,}24\cdot10^{8}\,\text{m/s}

Es una velocidad muy alta, comparable a la de la luz: por eso la energía cinética no puede calcularse con

\tfrac12 m v^2

Consejo

No uses $E_c = \tfrac12 m v^2$ : a estas velocidades la expresión clásica falla y daría $v = c$ . La energía cinética relativista es $E_c = (\gamma - 1)\,m_0 c^2$ .

Los criterios dan 0,8 puntos a la expresión de la energía: escribe $E = E_0 + E_c = \gamma E_0$ antes de despejar la velocidad.