FísicaFácilProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

La función que representa una onda sísmica es

y(x,t) = 3\,\text{sen}\left(\dfrac{\pi}{4}\,t - 4\pi x\right)

, donde

x

y

están expresadas en metros y

t

en segundos. Calcula razonadamente:

a) La amplitud, el periodo, la frecuencia y la longitud de onda. (1,2 puntos)

b) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración de un punto situado a

1\,\text{m}

del foco emisor, para

t = 8\,\text{s}

. (0,8 puntos)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A = 3\,\text{m}

;

T = 8\,\text{s}

;

f = 0{,}125\,\text{Hz}

;

\lambda = 0{,}5\,\text{m}

.

b) Velocidad de propagación

v = \omega/k = 0{,}0625\,\text{m/s}

. Velocidad de vibración en

x = 1\,\text{m}

t = 8\,\text{s}

v_y = \dfrac{3\pi}{4} \approx 2{,}36\,\text{m/s}

(la máxima, pasando por el equilibrio).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Comparamos la función con la forma general de una onda armónica,

y = A\,\text{sen}(\omega t - kx)

: de ahí leemos la amplitud, la frecuencia angular y el número de onda, y de estos dos salen el periodo, la frecuencia y la longitud de onda. En b) hay que distinguir dos velocidades: la de propagación (con qué rapidez avanza la onda,

v = \omega/k

) y la de vibración (con qué rapidez sube y baja un punto del medio, la derivada de

y

respecto del tiempo).

Desarrollo

a) Identificación. La ecuación general de una onda armónica que avanza en el sentido positivo del eje

X

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t - kx)

Comparando con la del enunciado:

A = 3\,\text{m}

\omega = \dfrac{\pi}{4}\,\text{rad/s}

k = 4\pi\,\text{rad/m}

.

Periodo.

T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/4} = 8\,\text{s}

Frecuencia.

f = \frac{1}{T} = \frac{1}{8} = 0{,}125\,\text{Hz}

Longitud de onda.

\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{4\pi} = 0{,}5\,\text{m}

b) Velocidad de propagación. Es la distancia que avanza la onda en un periodo:

v = \frac{\lambda}{T} = \frac{\omega}{k} = \frac{\pi/4}{4\pi} = \frac{1}{16} = 0{,}0625\,\text{m/s}

Velocidad de vibración. Es la derivada de la elongación respecto del tiempo, con

x

fijo:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = A\,\omega\cos(\omega t - kx) = \frac{3\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{4}\,t - 4\pi x\right)\ \ \text{m/s}

En $x = 1\,\text{m}$ y $t = 8\,\text{s}$ . La fase vale

\frac{\pi}{4}\cdot8 - 4\pi\cdot1 = 2\pi - 4\pi = -2\pi\ \text{rad},\qquad \cos(-2\pi) = 1

v_y = \frac{3\pi}{4}\cdot1 = 2{,}36\,\text{m/s}

Es la velocidad máxima de vibración,

A\omega

: en ese instante el punto pasa por la posición de equilibrio (

\text{sen}(-2\pi) = 0

) subiendo.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas las dos velocidades del apartado b): la de propagación es constante y la da $\omega/k$ ; la de vibración depende de $x$ y $t$ y sale derivando. Cada una vale 0,4 puntos.

Pon la calculadora en radianes al evaluar el coseno: la fase de una onda siempre va en radianes.