FísicaMedioCuestión · 1,5 pts

Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

Tau Ceti es una estrella que, como nuestro Sol, tiene un sistema planetario. La masa de ese sistema solar es 0,7 veces la masa del nuestro. Considerando ambos sistemas como dos masas puntuales separadas una distancia

d

, calcula el punto donde se anula el campo gravitatorio originado exclusivamente por dichas masas. Calcula primero la posición del punto en función de

d

y realiza después el cálculo numérico en km sabiendo que

d = 12

años-luz.

Dato: velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m/s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

El campo se anula entre las dos estrellas, a

x = \dfrac{d}{1+\sqrt{0{,}7}} \approx 0{,}544\,d

del Sol. Con

d = 12

años-luz

= 1{,}135\cdot10^{14}\,\text{km}

x \approx 6{,}18\cdot10^{13}\,\text{km}

del Sol (

5{,}17\cdot10^{13}\,\text{km}

de Tau Ceti).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El campo gravitatorio de cada masa apunta hacia ella. Solo entre las dos masas los dos campos tienen sentidos opuestos, así que el punto de campo nulo está en el segmento que las une, y más cerca de la masa menor (Tau Ceti). Igualamos los módulos de los dos campos, despejamos la distancia en función de

d

y, al final, pasamos los años-luz a kilómetros.

Desarrollo

Dónde puede anularse el campo. Llamamos

M

a la masa del sistema solar y

0{,}7M

a la del de Tau Ceti, y medimos

x

desde el Sol hacia Tau Ceti. Cada masa crea un campo dirigido hacia ella:

Fuera del segmento, los dos campos apuntan hacia el mismo lado (hacia las masas) y se suman: no se anulan.
Entre las masas, el del Sol apunta hacia el Sol y el de Tau Ceti hacia Tau Ceti: son opuestos y pueden anularse. El punto estará más cerca de la masa menor, para compensar que su atracción es más débil.

Igualdad de módulos. En un punto a distancia

x

del Sol (y

d - x

de Tau Ceti):

G\,\frac{M}{x^2} = G\,\frac{0{,}7\,M}{(d-x)^2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{(d-x)^2}{x^2} = 0{,}7

Posición en función de $d$ . Con

0 < x < d

, las dos distancias son positivas y tomamos la raíz positiva:

\frac{d-x}{x} = \sqrt{0{,}7}\quad\Longrightarrow\quad x = \frac{d}{1+\sqrt{0{,}7}} = 0{,}544\,d

El punto está a

0{,}544\,d

del Sol y a

d - x = 0{,}456\,d

de Tau Ceti, más cerca de la masa menor, como esperábamos. (La raíz negativa daría un punto fuera del segmento, donde los campos se suman.)

Distancia en kilómetros. Un año-luz es lo que recorre la luz en un año:

1\ \text{año-luz} = c\cdot t = 3\cdot10^{8}\,\text{m/s}\cdot(365\cdot24\cdot3600\,\text{s}) = 9{,}46\cdot10^{15}\,\text{m}

d = 12\cdot9{,}46\cdot10^{15}\,\text{m} = 1{,}135\cdot10^{17}\,\text{m} = 1{,}135\cdot10^{14}\,\text{km}

Resultado numérico.

x = 0{,}544\cdot1{,}135\cdot10^{14}\,\text{km} = 6{,}18\cdot10^{13}\,\text{km}\ \ \text{del Sol}

d - x = 5{,}17\cdot10^{13}\,\text{km}

de Tau Ceti.

Consejo

La justificación (por qué el punto está entre las masas y más cerca de la menor) vale 0,5 puntos, tanto como el cálculo simbólico: dibuja los dos vectores en cada zona antes de igualar.

Deja el resultado primero en función de $d$ y luego sustituye: los criterios puntúan por separado el resultado simbólico y el numérico.

Paso 1 de 3

¿Has terminado el problema?

¿Te atascas?Manda tu duda a tu profesor o al equipo, o pregunta a otros estudiantes en la comunidad.

Sigue practicando

Campo y potencial gravitatorio

Responda a1 o a2 a1) Dos masas puntuales,