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Problema resuelto de Física: Radiactividad y desintegraciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Junio · Opción A

Enunciado

En una prueba médica, se le inyecta a un paciente un radiofármaco constituido por un isótopo radiactivo con periodo de semidesintegración

T = 17{,}8\,\text{h}

. Para obtener la resolución deseada, en el momento de realizar la prueba la actividad de la sustancia inyectada debe ser de

2\cdot 10^{8}\,\text{Bq}

(desintegraciones/segundo). Entre la fabricación del radiofármaco y la realización de la prueba pasan

20\,\text{h}

. Calcula:

a) La actividad que debe tener el radiofármaco en el momento de su fabricación. (1 punto)

b) El número inicial de núcleos de dicho isótopo y la masa que se necesita fabricar. (1 punto)

Datos: número de Avogadro,

N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\,\text{mol}^{-1}

; masa molar del isótopo,

m_M = 74\,\text{g/mol}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

A_0 = A\,e^{\lambda t} \approx 4{,}36\cdot10^{8}\,\text{Bq}

, con

\lambda = 1{,}08\cdot10^{-5}\,\text{s}^{-1}

.

b)

N_0 = A_0/\lambda \approx 4{,}03\cdot10^{13}

núcleos y

m_0 = N_0\,m_M/N_A \approx 4{,}95\cdot10^{-9}\,\text{g}

(

\approx 5\,\text{ng}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Mientras pasan las 20 horas, la muestra se va desintegrando y su actividad baja exponencialmente. Si queremos que en la prueba quede

2\cdot10^8\,\text{Bq}

, al fabricarla tiene que tener más: hay que «deshacer» el decaimiento, multiplicando por

e^{\lambda t}

. Después, como la actividad es

A = \lambda N

, del valor inicial de la actividad sale el número inicial de núcleos, y con el número de Avogadro y la masa molar, la masa.

Desarrollo

a) Constante de desintegración. Se relaciona con el periodo de semidesintegración por

\lambda = \ln 2 / T

. En segundos (la actividad va en desintegraciones por segundo):

\lambda = \frac{\ln 2}{T} = \frac{0{,}693}{17{,}8\cdot3600\,\text{s}} = 1{,}08\cdot10^{-5}\,\text{s}^{-1}

Ley de desintegración para la actividad. La actividad decae como el número de núcleos:

A(t) = A_0\,e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad A_0 = A(t)\,e^{\lambda t} = A(t)\cdot 2^{\,t/T}

Actividad en la fabricación. Con

t = 20\,\text{h}

A(t) = 2\cdot10^8\,\text{Bq}

A_0 = 2\cdot10^{8}\cdot 2^{\,20/17{,}8} = 2\cdot10^{8}\cdot 2{,}179 = 4{,}36\cdot10^{8}\,\text{Bq}

Tiene sentido: han pasado algo más de un periodo de semidesintegración, así que la actividad inicial es algo más del doble de la final.

b) Número inicial de núcleos. La actividad es proporcional al número de núcleos,

A = \lambda N

N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{4{,}36\cdot10^{8}}{1{,}082\cdot10^{-5}} = 4{,}03\cdot10^{13}\ \text{núcleos}

Masa necesaria. Pasamos a moles con el número de Avogadro y a gramos con la masa molar:

m_0 = \frac{N_0}{N_A}\,m_M = \frac{4{,}03\cdot10^{13}}{6{,}02\cdot10^{23}}\cdot74\,\text{g} = 4{,}95\cdot10^{-9}\,\text{g}

Unos 5 nanogramos: basta una cantidad minúscula de isótopo para tener una actividad de cientos de millones de desintegraciones por segundo.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error más caro es mezclar unidades: si $\lambda$ va en $\text{h}^{-1}$ , $N = A/\lambda$ sale mal, porque los becquerelios son desintegraciones por segundo. Pasa $T$ a segundos desde el principio.

Comprueba el sentido: la actividad al fabricar debe ser mayor que la de la prueba. Si te sale menor, has puesto $e^{-\lambda t}$ donde iba $e^{+\lambda t}$ .