Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Junio · Opción A

Geometría. El triángulo rectángulo tiene el ángulo recto en el origen, el cateto vertical de 4 m y el ángulo de 30° en $q_2$. Entonces:$$x_2 = \frac{4}{\tan 30^\circ} = 4\sqrt3 = 6{,}93\,\text{m},\qquad r_2 = \overline{q_2 P} = \frac{4}{\sin 30^\circ} = 8\,\text{m}$$Así, $q_1$ está en $(0,0)$, $q_2$ en $(4\sqrt3,\,0)\,\text{m}$ y $P$ en $(0,\,4)\,\text{m}$; la distancia de $q_1$ a $P$ es $r_1 = 4\,\text{m}$.

a) Campo de una carga puntual. En un punto a distancia $r$ de una carga $q$:$$\vec E = k_e\,\frac{q}{r^2}\,\vec u_r$$con $\vec u_r$ el vector unitario que va de la carga al punto.

Campo de $q_1$. De $q_1$ a $P$: $\vec u_1 = \vec\jmath$.$$\vec E_1 = k_e\,\frac{q_1}{r_1^2}\,\vec\jmath = \frac{9\cdot10^9\cdot(-4\cdot10^{-6})}{4^2}\,\vec\jmath = -2250\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}$$Apunta hacia abajo, hacia $q_1$, porque la carga es negativa.

Campo de $q_2$. De $q_2$ a $P$ el vector es $(-4\sqrt3,\,4)\,\text{m}$, de módulo 8 m, así que $\vec u_2 = -\cos30^\circ\,\vec\imath + \sin30^\circ\,\vec\jmath$.$$E_2 = k_e\,\frac{q_2}{r_2^2} = \frac{9\cdot10^9\cdot 2\cdot10^{-6}}{8^2} = 281{,}25\,\text{N/C}$$$$\vec E_2 = 281{,}25\,(-0{,}866\,\vec\imath + 0{,}5\,\vec\jmath) = -243{,}6\,\vec\imath + 140{,}6\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}$$Apunta alejándose de $q_2$, hacia arriba y a la izquierda, en la prolongación de la línea discontinua.

Campo total. Por el principio de superposición:$$\vec E_P = \vec E_1 + \vec E_2 = -243{,}6\,\vec\imath + (140{,}6 - 2250)\,\vec\jmath = -243{,}6\,\vec\imath - 2109{,}4\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}$$Su módulo es $E_P = \sqrt{243{,}6^2 + 2109{,}4^2} = 2123\,\text{N/C}$: casi vertical hacia abajo, desviado unos $6{,}6^\circ$ hacia la izquierda.

Representación. En $P$: $\vec E_1$, vertical hacia abajo y largo (hacia el origen); $\vec E_2$, corto, hacia arriba a la izquierda, formando $30^\circ$ con la horizontal y en la dirección de la línea que viene de $q_2$; y $\vec E_P$, la suma, hacia abajo y ligeramente a la izquierda.

b) Potencial en $P$. El potencial es un escalar y se suma con su signo:$$V_P = k_e\left(\frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2}\right) = 9\cdot10^9\left(\frac{-4\cdot10^{-6}}{4} + \frac{2\cdot10^{-6}}{8}\right) = 9\cdot10^9\cdot(-0{,}75\cdot10^{-6}) = -6750\,\text{V}$$Trabajo mínimo. El trabajo mínimo que hace una fuerza externa para traer $q_3$ desde el infinito hasta $P$ (sin que gane energía cinética) es igual a la variación de su energía potencial:$$W_{\text{ext}} = \Delta E_p = q_3\,(V_P - V_\infty) = 1\cdot10^{-9}\cdot(-6750 - 0) = -6{,}75\cdot10^{-6}\,\text{J}$$Interpretación del signo. Sale negativo: no hace falta aportar energía. El conjunto de las cargas atrae a $q_3$ hacia $P$ (domina la carga negativa $q_1$, más cercana y mayor), y es el propio campo el que hace un trabajo positivo de $6{,}75\cdot10^{-6}\,\text{J}$. Para que la carga llegue a $P$ en reposo, la fuerza externa tiene que frenarla y realiza $-6{,}75\cdot10^{-6}\,\text{J}$.