Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Junio · Opción A

Fuerza sobre el planeta. Un planeta de masa $m$ en una órbita circular de radio $r$ alrededor de una estrella de masa $M$ solo nota la fuerza gravitatoria, dirigida hacia la estrella:$$F_g = G\,\frac{M\,m}{r^2}$$La gravedad hace de fuerza centrípeta. Para que el movimiento sea circular uniforme con velocidad $v$, la fuerza neta tiene que ser la centrípeta:$$G\,\frac{M\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}$$Radio de la órbita. La masa del planeta se simplifica y, despejando $r$:$$\frac{G\,M}{r} = v^2\quad\Longrightarrow\quad r = \frac{G\,M}{v^2}$$El radio solo depende de la masa de la estrella y de la velocidad orbital, no de la masa del planeta.

Comparación de los dos planetas. Los dos giran alrededor de la misma estrella, así que $G\,M$ es el mismo para ambos. El cociente de radios es$$\frac{r_2}{r_1} = \frac{G M / v_2^2}{G M / v_1^2} = \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2$$Como $v_1 > v_2$, el cociente es mayor que 1: $r_2 > r_1$. Cuanto más lejos está un planeta, más débil es la atracción y menos velocidad necesita para mantenerse en órbita.