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Problema resuelto de Física: Núcleo atómico y reacciones nuclearesSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

La energía cinética relativista de un electrón es el doble de su energía en reposo. Calcula su energía total y su velocidad en unidades del SI.

Dato: velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot10^{8}\,\text{m/s}

; masa del electrón,

m = 9{,}1\cdot10^{-31}\,\text{kg}

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Resultado

Energía total:

E = 3\,mc^2 \approx 2{,}46\cdot10^{-13}\,\text{J}

. Velocidad:

\gamma = 3

, así que

v = c\sqrt{8/9} \approx 0{,}943\,c \approx 2{,}83\cdot10^{8}\,\text{m/s}

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Estrategia

En relatividad, la energía total de una partícula es la suma de su energía en reposo,

m c^2

, y su energía cinética. Si la cinética es el doble de la de reposo, la total es el triple:

E = 3\,mc^2

. Y como la energía total es

\gamma\,mc^2

, el factor de Lorentz vale

\gamma = 3

, de donde se despeja la velocidad.

Desarrollo

Energía total. La energía total relativista es la de reposo más la cinética:

E = E_0 + E_c,\qquad E_0 = m\,c^2

Con

E_c = 2\,E_0

E = E_0 + 2E_0 = 3\,m\,c^2 = 3\cdot9{,}1\cdot10^{-31}\cdot(3\cdot10^8)^2 = 2{,}46\cdot10^{-13}\,\text{J}

(La energía en reposo es

m c^2 = 8{,}19\cdot10^{-14}\,\text{J}

y la cinética,

1{,}64\cdot10^{-13}\,\text{J}

.)

Factor de Lorentz. La energía total también es

E = \gamma\,m\,c^2

, con

\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}

. Igualando:

\gamma\,m\,c^2 = 3\,m\,c^2 \quad\Longrightarrow\quad \gamma = 3

Velocidad. Despejamos

v

\frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = 3 \quad\Longrightarrow\quad 1 - \frac{v^2}{c^2} = \frac{1}{9} \quad\Longrightarrow\quad v = c\,\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt2}{3}\,c

v = 0{,}943\cdot3\cdot10^8 = 2{,}83\cdot10^{8}\,\text{m/s}

Es menor que

c

, como debe ser. Con la fórmula clásica,

\tfrac12 m v^2 = 2mc^2

daría

v = 2c

: a estas energías la mecánica de Newton no vale.

Consejo

No uses $E_c = \tfrac12 m v^2$ : el enunciado dice «relativista», y la energía cinética es $E_c = (\gamma - 1)\,mc^2$ . Escrito así, $E_c = 2mc^2$ da directamente $\gamma = 3$ . Comprueba al final que $v < c$ : si te sale mayor, has mezclado la fórmula clásica.