Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Julio · Opción B

a) Distancias y módulo de cada campo. De cada carga a $D(1,1)$ hay $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2\,\text{m}$, así que los tres campos tienen el mismo módulo:$$E = k_e\,\frac{|q|}{r^2} = 9\cdot10^9\cdot\frac{3\cdot10^{-6}}{2} = 1{,}35\cdot10^{4}\,\text{N/C}$$Dirección de cada campo. El campo de una carga negativa apunta hacia ella:

• $\vec E_A$, hacia $A(0,0)$: dirección $\dfrac{-\vec\imath - \vec\jmath}{\sqrt2}$ (abajo a la izquierda).
• $\vec E_B$, hacia $B(0,2)$: dirección $\dfrac{-\vec\imath + \vec\jmath}{\sqrt2}$ (arriba a la izquierda).
• $\vec E_C$, hacia $C(2,2)$: dirección $\dfrac{\vec\imath + \vec\jmath}{\sqrt2}$ (arriba a la derecha).

En el dibujo, en $D$ salen tres flechas iguales hacia los tres vértices ocupados: $\vec E_A$ y $\vec E_C$ en la misma diagonal y sentidos opuestos, y $\vec E_B$ por la otra diagonal, hacia $B$.

Campo resultante. Por superposición, $\vec E_A + \vec E_C = \vec 0$, y queda$$\vec E_D = \vec E_B = 1{,}35\cdot10^4\cdot\frac{-\vec\imath + \vec\jmath}{\sqrt2} = -9{,}55\cdot10^{3}\,\vec\imath + 9{,}55\cdot10^{3}\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}$$Su módulo es $1{,}35\cdot10^4\,\text{N/C}$ y apunta hacia $B$.

b) Potencial en $D$. El potencial de una carga puntual es $V = k_e q/r$, y el total es la suma. Las tres distancias valen $\sqrt2\,\text{m}$:$$V_D = 3\,k_e\,\frac{q}{\sqrt2} = 3\cdot\frac{9\cdot10^9\cdot(-3\cdot10^{-6})}{\sqrt2} = -5{,}73\cdot10^{4}\,\text{V}$$Potencial en $E$. Desde $E(2,0)$: a $A$ hay $2\,\text{m}$, a $C$ hay $2\,\text{m}$ y a $B$ hay $\sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt2\,\text{m}$:$$V_E = k_e\,q\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2\sqrt2}\right) = 9\cdot10^9\cdot(-3\cdot10^{-6})\cdot1{,}354 = -3{,}65\cdot10^{4}\,\text{V}$$Trabajo del campo. Para llevar $q' = 1\,\mu\text{C}$ de $D$ a $E$, el campo hace$$W_{D\to E} = q'\,(V_D - V_E) = 1\cdot10^{-6}\cdot\left(-5{,}73\cdot10^4 + 3{,}65\cdot10^4\right) = -2{,}07\cdot10^{-2}\,\text{J}$$¿Es espontáneo? El trabajo del campo es negativo: la energía potencial de la carga aumenta ($\Delta E_p = -W = +2{,}07\cdot10^{-2}\,\text{J}$). Una carga positiva tiende a ir hacia potenciales menores, y aquí va de $-5{,}73\cdot10^4\,\text{V}$ a $-3{,}65\cdot10^4\,\text{V}$, un potencial mayor: se aleja de las cargas negativas, que la atraen. No se mueve espontáneamente; una fuerza externa tiene que hacer, como mínimo, un trabajo de $2{,}07\cdot10^{-2}\,\text{J}$.