Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Julio · Opción B

Magnitudes de la onda. Comparamos con $y = A\cos(\omega t - kx)$:$$A = 0{,}5\,\text{m},\qquad \omega = 10\pi\,\text{rad/s},\qquad k = 5\pi\,\text{rad/m}$$$$\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{5\pi} = 0{,}4\,\text{m},\qquad f = \frac{\omega}{2\pi} = 5\,\text{Hz},\qquad v = \frac{\omega}{k} = 2\,\text{m/s}$$El signo menos entre $\omega t$ y $kx$ indica que la onda avanza en el sentido positivo del eje $X$.

a) Elongación en $x_1$, $t_1$. Con $x_1 = 40\,\text{cm} = 0{,}4\,\text{m}$ y $t_1 = 1\,\text{s}$:$$y(x_1,t_1) = 0{,}5\cos[5\pi(2\cdot1 - 0{,}4)] = 0{,}5\cos(8\pi) = 0{,}5\cdot1 = 0{,}5\,\text{m}$$El punto está en su elongación máxima.

Distancia mínima entre dos puntos en el mismo estado. Dos puntos tienen la misma elongación y la misma velocidad en un mismo instante (y en todos) cuando vibran en fase, es decir, cuando sus fases difieren en un múltiplo de $2\pi$:$$k\,\Delta x = 2\pi\,n \quad\Longrightarrow\quad \Delta x_{\min} = \frac{2\pi}{k} = \lambda = 0{,}4\,\text{m}$$Pedir solo la misma elongación no basta: dos puntos simétricos respecto a un máximo tienen igual $y$ pero velocidades opuestas.

b) Velocidad transversal. Es la velocidad de vibración de cada punto de la cuerda, la derivada de la elongación respecto al tiempo con $x$ fijo:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -0{,}5\cdot10\pi\,\sin[5\pi(2t - x)] = -5\pi\,\sin[5\pi(2t - x)]\ \ \text{m/s}$$En $x_1 = 0{,}4\,\text{m}$, $t_1 = 1\,\text{s}$. La fase es $8\pi$:$$v_y(x_1,t_1) = -5\pi\sin(8\pi) = 0$$Lógico: el punto está en el extremo de su vibración ($y = A$), donde se para para volver.

En $x_2 = x_1 + \lambda/4 = 0{,}4 + 0{,}1 = 0{,}5\,\text{m}$, $t_1 = 1\,\text{s}$. La fase es $5\pi(2 - 0{,}5) = 7{,}5\pi$, y $\sin(7{,}5\pi) = \sin(1{,}5\pi) = -1$:$$v_y(x_2,t_1) = -5\pi\cdot(-1) = 5\pi = 15{,}7\,\text{m/s}$$Es la velocidad máxima, $A\omega = 0{,}5\cdot10\pi$: separado un cuarto de longitud de onda, el punto está desfasado $\pi/2$ y pasa por la posición de equilibrio (allí $y = 0{,}5\cos(7{,}5\pi) = 0$), moviéndose hacia arriba.