Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Julio · Opción B

La gravedad hace de fuerza centrípeta. Un planeta de masa $m$ en órbita circular de radio $r$ alrededor del Sol, de masa $M_S$, cumple$$G\,\frac{M_S\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{G\,M_S}{r}$$Velocidad y periodo. En una vuelta recorre la circunferencia, $2\pi r$, en un tiempo $T$, así que $v = \dfrac{2\pi r}{T}$. Sustituyendo:$$\frac{4\pi^2 r^2}{T^2} = \frac{G\,M_S}{r} \quad\Longrightarrow\quad T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M_S}\,r^3$$Es la tercera ley de Kepler: el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio, con una constante que solo depende de la masa del Sol (es la misma para todos sus planetas) y no de la del planeta.

Comparación con la Tierra. Escribiendo la ley para Urano y para la Tierra y dividiendo, la constante se va:$$\frac{T_U^2}{T_T^2} = \frac{r_U^3}{r_T^3} \quad\Longrightarrow\quad T_U = T_T\left(\frac{r_U}{r_T}\right)^{3/2}$$Valor numérico. Con $T_T = 1$ año:$$\frac{r_U}{r_T} = \frac{2{,}9\cdot10^{12}}{1{,}5\cdot10^{11}} = 19{,}3$$$$T_U = 1\ \text{año}\cdot19{,}3^{3/2} = 85\ \text{años} \approx 2{,}7\cdot10^{9}\,\text{s}$$Urano está unas 19 veces más lejos del Sol que la Tierra y tarda 85 años en dar una vuelta (el valor real es de 84 años).