FísicaMedioProblema · 2 pts

Radiactividad y desintegraciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Julio · Opción A

Comunitat Valenciana · 2018 · Julio · Opción A
Enunciado
Se ha descubierto una antigua silla egipcia de madera que se desea datar. Se mide la actividad de una muestra debido al 14C^{14}\text{C} presente en la silla y se obtiene que es de 260260 desintegraciones/día, frente a las 1818 desintegraciones/hora que produce una muestra similar de madera recién talada.

a) Calcula las actividades de las muestras en becquerelios (desintegraciones por segundo). Determina la edad de la silla y establece si pudo pertenecer a la reina Hetepheres I que vivió en la cuarta dinastía entre los años 2575 a. C. y 2551 a. C. (1 punto)

b) Calcula la actividad de la muestra de la silla dentro de 20002000 años y el porcentaje de núcleos de 14C^{14}\text{C} que se han desintegrado desde que se fabricó la silla. (1 punto)

Dato: periodo de semidesintegración del 14C^{14}\text{C}, T=5730T = 5730 años
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Resultado
a) Asilla=3,01⋅10−3 BqA_{\text{silla}} = 3{,}01\cdot10^{-3}\,\text{Bq} y A0=5,00⋅10−3 BqA_0 = 5{,}00\cdot10^{-3}\,\text{Bq}. Edad: t=Tln⁡2ln⁡A0A≈4200t = \dfrac{T}{\ln 2}\ln\dfrac{A_0}{A} \approx 4200 años (hacia el 2180 a. C.): es unos 400 años posterior a Hetepheres I, así que no pudo ser suya.

b) Dentro de 2000 años, A′≈2,36⋅10−3 BqA' \approx 2{,}36\cdot10^{-3}\,\text{Bq}. Desde que se fabricó se ha desintegrado el 39,8 %39{,}8\,\% de los núcleos de 14C^{14}\text{C} (el 52,7 %52{,}7\,\% dentro de 2000 años).
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Mientras un árbol vive, intercambia carbono con la atmósfera y la proporción de 14C^{14}\text{C} en su madera se mantiene constante; al talarlo, el 14C^{14}\text{C} deja de reponerse y se va desintegrando. La madera recién talada nos da, por tanto, la actividad inicial A0A_0 de la silla, y la actividad que tiene hoy, AA, cuánto ha decaído. Como la actividad sigue la misma ley exponencial que el número de núcleos, A=A0 e−λtA = A_0\,e^{-\lambda t}, despejar el tiempo es cuestión de tomar logaritmos. Antes, todo en becquerelios.
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Desarrollo

a) Actividades en becquerelios. Pasamos los días y las horas a segundos:A=260 desintegraciones1 dıˊa=26086 400 s=3,01⋅10−3 BqA = \frac{260\ \text{desintegraciones}}{1\ \text{día}} = \frac{260}{86\,400\,\text{s}} = 3{,}01\cdot10^{-3}\,\text{Bq}A0=18 desintegraciones1 h=183600 s=5,00⋅10−3 BqA_0 = \frac{18\ \text{desintegraciones}}{1\ \text{h}} = \frac{18}{3600\,\text{s}} = 5{,}00\cdot10^{-3}\,\text{Bq}Constante de desintegración. A partir del periodo de semidesintegración:λ=ln⁡2T=0,6935730 an˜os=1,21⋅10−4 an˜os−1\lambda = \frac{\ln 2}{T} = \frac{0{,}693}{5730\,\text{años}} = 1{,}21\cdot10^{-4}\,\text{años}^{-1}Como el tiempo nos interesa en años, no hace falta pasar λ\lambda a s−1\text{s}^{-1}.

Edad de la silla. La actividad es proporcional al número de núcleos (A=λNA = \lambda N), así que sigue la ley de desintegración:A=A0 e−λt⟹t=1λ ln⁡A0A=Tln⁡2 ln⁡A0AA = A_0\,e^{-\lambda t} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{1}{\lambda}\,\ln\frac{A_0}{A} = \frac{T}{\ln 2}\,\ln\frac{A_0}{A}El cociente de actividades no depende de las unidades: A0A=5,00⋅10−33,01⋅10−3=1,66\dfrac{A_0}{A} = \dfrac{5{,}00\cdot10^{-3}}{3{,}01\cdot10^{-3}} = 1{,}66. Entoncest=57300,693 ln⁡1,66=57300,693⋅0,508≈4200 an˜ost = \frac{5730}{0{,}693}\,\ln 1{,}66 = \frac{5730}{0{,}693}\cdot0{,}508 \approx 4200\ \text{años}¿Pudo ser de Hetepheres I? Si la madera se taló hace unos 4200 años, contando desde 2018 la silla es de hacia el año 4200−2018≈21804200 - 2018 \approx 2180 a. C. La reina vivió entre 2575 y 2551 a. C., es decir, hace unos 4570-4590 años. La silla es unos 400 años más moderna que la reina: no pudo pertenecerle.
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b) Actividad dentro de 2000 años. Aplicamos la misma ley a partir de la actividad de hoy:A′=A e−λ t′=A⋅2−t′/T=3,01⋅10−3⋅2−2000/5730A' = A\,e^{-\lambda\,t'} = A\cdot2^{-t'/T} = 3{,}01\cdot10^{-3}\cdot2^{-2000/5730}A′=3,01⋅10−3⋅0,785=2,36⋅10−3 BqA' = 3{,}01\cdot10^{-3}\cdot0{,}785 = 2{,}36\cdot10^{-3}\,\text{Bq}Núcleos desintegrados desde la fabricación. Como A=λNA = \lambda N y λ\lambda no cambia, el cociente de actividades es el de núcleos: la fracción que queda hoy esNN0=AA0=3,01⋅10−35,00⋅10−3=0,602\frac{N}{N_0} = \frac{A}{A_0} = \frac{3{,}01\cdot10^{-3}}{5{,}00\cdot10^{-3}} = 0{,}602Se ha desintegrado el resto:1−NN0=1−0,602=0,398⟹39,8 %1 - \frac{N}{N_0} = 1 - 0{,}602 = 0{,}398 \quad\Longrightarrow\quad 39{,}8\,\%Dentro de 2000 años, la fracción desintegrada desde la fabricación será 1−2,36⋅10−35,00⋅10−3=0,5271 - \dfrac{2{,}36\cdot10^{-3}}{5{,}00\cdot10^{-3}} = 0{,}527, un 52,7 %52{,}7\,\%.
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Consejo

Antes de nada, pasa las dos actividades a becquerelios (vale 0,25 puntos) y fíjate en que una está por día y la otra por hora: si las comparas sin convertir, la edad sale disparatada. Para el porcentaje no hace falta calcular números de núcleos: el cociente de actividades es el de núcleos. Y razona la comparación con las fechas de la reina con números: «la silla es de hacia el 2180 a. C.».
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