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Problema resuelto de Física: Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbreSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Julio · Opción A

Enunciado

Razona cuál debe ser la velocidad

v_\mu

de un muon, para que su longitud de onda asociada (de De Broglie) sea igual que la de un electrón que se mueve a una velocidad

v_e = 0{,}025\,c

. La masa del muon es

207

veces la del electrón. Considera que las velocidades son no relativistas. Deja el resultado en función de la velocidad de la luz en el vacío

c

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

Las dos partículas deben tener la misma cantidad de movimiento,

m_\mu v_\mu = m_e v_e

, así que

v_\mu = \dfrac{v_e}{207} = \dfrac{0{,}025\,c}{207} \approx 1{,}21\cdot10^{-4}\,c

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Estrategia

Según De Broglie, toda partícula en movimiento lleva asociada una onda cuya longitud solo depende de su cantidad de movimiento:

\lambda = h/p

. Que dos partículas tengan la misma longitud de onda quiere decir, entonces, que tienen la misma cantidad de movimiento. Como el muon tiene 207 veces más masa, le basta con ir 207 veces más despacio.

Desarrollo

Hipótesis de De Broglie. La longitud de onda asociada a una partícula de cantidad de movimiento

p

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m\,v}

donde hemos usado

p = m\,v

porque las velocidades son no relativistas.

Igualdad de longitudes de onda.

\lambda_\mu = \lambda_e \quad\Longrightarrow\quad \frac{h}{m_\mu\,v_\mu} = \frac{h}{m_e\,v_e} \quad\Longrightarrow\quad m_\mu\,v_\mu = m_e\,v_e

Velocidad del muon. Despejamos y usamos

m_\mu = 207\,m_e

v_\mu = \frac{m_e}{m_\mu}\,v_e = \frac{v_e}{207} = \frac{0{,}025\,c}{207} = 1{,}21\cdot10^{-4}\,c

Es decir, unos

3{,}6\cdot10^{4}\,\text{m/s}

: mucho menor que

c

, así que la aproximación no relativista está justificada también para el muon.

Consejo

El criterio reparte la nota en tres partes iguales: la expresión de De Broglie, plantear la igualdad de las longitudes de onda y el resultado. No te limites a dar el número: escribe que igualar $\lambda$ equivale a igualar $p$ . Y deja el resultado en función de $c$ , como pide el enunciado.