Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2018 · Julio · Opción A

a) Gravedad en la superficie. Un cuerpo de masa $m$ sobre la superficie de un planeta de masa $M$ y radio $R$ pesa$$P = m\,g_0 = G\,\frac{M\,m}{R^2}$$Cociente de pesos. Escribimos el peso del astronauta en el planeta y en la Tierra y dividimos. La masa $m$ y $G$ se van:$$\frac{P}{P_T} = \frac{M}{M_T}\left(\frac{R_T}{R}\right)^2 \quad\Longrightarrow\quad P = P_T\,\frac{M/M_T}{(R/R_T)^2}$$Valor numérico. Con $M/M_T = 0{,}86$ y $R/R_T = 1{,}04$ (un 4 % mayor):$$P = 800\cdot\frac{0{,}86}{1{,}04^2} = 800\cdot\frac{0{,}86}{1{,}0816} = 636\,\text{N}$$El astronauta pesa allí un 80 % de lo que pesa en la Tierra: el planeta tiene algo menos de masa y es algo más grande, y las dos cosas rebajan la gravedad.

b) Velocidad de escape. Es la velocidad mínima que hay que darle a un cuerpo en la superficie para que llegue al infinito. «Mínima» significa que llega allí con velocidad nula, y en el infinito la energía potencial también es cero. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica se conserva:$$\frac{1}{2}\,m\,v_e^2 - G\,\frac{M\,m}{R} = 0 \quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}$$No depende de la masa del cuerpo que escapa.

Cociente con la Tierra. Dividiendo la del planeta entre la de la Tierra, $G$ y el 2 se simplifican:$$\frac{v_e}{v_{e,T}} = \sqrt{\frac{M}{M_T}\cdot\frac{R_T}{R}} \quad\Longrightarrow\quad v_e = v_{e,T}\sqrt{\frac{M/M_T}{R/R_T}}$$Valor numérico.$$v_e = 11{,}2\cdot\sqrt{\frac{0{,}86}{1{,}04}} = 11{,}2\cdot\sqrt{0{,}8269} = 11{,}2\cdot0{,}909 = 10{,}2\,\text{km/s}$$Fíjate en que aquí el radio va sin elevar al cuadrado: la velocidad de escape baja menos que el peso.