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Problema resuelto de Física: Efecto fotoeléctrico y cuantizaciónSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Junio · Opción B

Enunciado

Sobre una superficie de un cierto metal M, inciden simultáneamente dos radiaciones monocromáticas de longitudes de onda 200 nm y 100 nm, respectivamente. La función trabajo para este metal M es de 8,3 eV.

a) Determina la frecuencia umbral de efecto fotoeléctrico para dicho metal.

b) ¿Habrá emisión fotoeléctrica para las dos longitudes de onda indicadas?

c) En su caso, calcula la velocidad máxima de los electrones emitidos.

Datos:

1\ \text{eV} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{J}

;

1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}

;

m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\ \text{kg}

; constante de Planck,

h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}

; velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

f_0 = 2{,}0\cdot 10^{15}\ \text{Hz}

.

b) Con 200 nm (

1{,}5\cdot 10^{15}\ \text{Hz}

) no hay emisión; con 100 nm (

3\cdot 10^{15}\ \text{Hz}

) sí.

c)

v_{\text{máx}} = 1{,}21\cdot 10^{6}\ \text{m/s}

(con la radiación de 100 nm).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En el efecto fotoeléctrico cada fotón entrega toda su energía,

E = hf

, a un solo electrón. Si esa energía no llega a la función trabajo

W_0

, no se arranca ningún electrón, por intensa que sea la luz. La frecuencia umbral es la que tiene justo la energía

W_0

. Basta, pues, comparar la frecuencia (o la energía) de cada radiación con la umbral, y para la que supere el umbral, el sobrante de energía es la energía cinética máxima de los electrones.

Desarrollo

a) Frecuencia umbral. Pasamos la función trabajo a julios y la igualamos a la energía de un fotón de frecuencia

f_0

W_0 = 8{,}3\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19} = 1{,}328\cdot 10^{-18}\ \text{J}

W_0 = h\,f_0\ \Longrightarrow\ f_0 = \frac{W_0}{h} = \frac{1{,}328\cdot 10^{-18}}{6{,}63\cdot 10^{-34}} = 2{,}00\cdot 10^{15}\ \text{Hz}

(Equivale a una longitud de onda umbral

\lambda_0 = c/f_0 = 150\ \text{nm}

.)

b) Frecuencia de cada radiación,

f = c/\lambda

\lambda_1 = 200\ \text{nm}:\quad f_1 = \frac{3\cdot 10^{8}}{200\cdot 10^{-9}} = 1{,}5\cdot 10^{15}\ \text{Hz} < f_0

\lambda_2 = 100\ \text{nm}:\quad f_2 = \frac{3\cdot 10^{8}}{100\cdot 10^{-9}} = 3\cdot 10^{15}\ \text{Hz} > f_0

La radiación de 200 nm no produce emisión (sus fotones tienen

6{,}2\ \text{eV} < 8{,}3\ \text{eV}

); la de 100 nm sí (fotones de

12{,}4\ \text{eV}

). Que incidan a la vez no cambia nada: cada fotón actúa por separado.

c) Ecuación de Einstein para la radiación de 100 nm:

h\,f_2 = W_0 + E_{c,\text{máx}}\ \Longrightarrow\ E_{c,\text{máx}} = 6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{15} - 1{,}328\cdot 10^{-18} = 6{,}61\cdot 10^{-19}\ \text{J}

(unos 4,1 eV).

Velocidad máxima.

\frac{1}{2}\,m_e\,v_{\text{máx}}^2 = E_{c,\text{máx}}\ \Longrightarrow\ v_{\text{máx}} = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}61\cdot 10^{-19}}{9{,}1\cdot 10^{-31}}} = 1{,}21\cdot 10^{6}\ \text{m/s}

Es mucho menor que

c

, así que el tratamiento no relativista es correcto.

Consejo

Para decidir si hay emisión, compara frecuencias (o energías del fotón con la función trabajo) y dilo con una frase: « $f < f_0$ , luego no hay efecto fotoeléctrico». Y no olvides pasar los eV a julios antes de mezclar la función trabajo con $h\,f$ .