Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Junio · Opción B

Radio de la órbita. En unidades del SI:$$r = R_P + h = 7{,}2\cdot 10^{6} + 2{,}41\cdot 10^{9} = 2{,}4172\cdot 10^{9}\ \text{m}$$a) Velocidad orbital. Igualamos la fuerza gravitatoria a la centrípeta:$$\frac{G\,M_P\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\ \Longrightarrow\ v = \sqrt{\frac{G\,M_P}{r}} = \sqrt{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}0\cdot 10^{27}}{2{,}4172\cdot 10^{9}}} = 1{,}287\cdot 10^{4}\ \text{m/s}$$Periodo. En una vuelta recorre la circunferencia completa:$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\cdot 2{,}4172\cdot 10^{9}}{1{,}287\cdot 10^{4}} = 1{,}18\cdot 10^{6}\ \text{s}$$que son unas 328 h, es decir, unos 13,7 días. (Lo mismo sale de la tercera ley de Kepler, $T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM_P)}$.)

b) Energía total. Sumando la cinética, $\tfrac12 m v^2 = \tfrac{GM_Pm}{2r}$, y la potencial, $-\tfrac{GM_Pm}{r}$:$$E = -\frac{G\,M_P\,m}{2r} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}0\cdot 10^{27}\cdot 25\,000}{2\cdot 2{,}4172\cdot 10^{9}} = -2{,}07\cdot 10^{12}\ \text{J}$$El signo negativo indica que el satélite está ligado al planeta.

c) Velocidad de escape desde la superficie. Para escapar, el cuerpo debe llegar al infinito con velocidad nula, así que su energía mecánica en la superficie ha de ser cero:$$\frac{1}{2}\,m\,v_e^2 - \frac{G\,M_P\,m}{R_P} = 0\ \Longrightarrow\ v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M_P}{R_P}} = \sqrt{\frac{2\cdot 6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}0\cdot 10^{27}}{7{,}2\cdot 10^{6}}} = 3{,}33\cdot 10^{5}\ \text{m/s}$$No depende de la masa del cuerpo que escapa ni de la dirección de lanzamiento, por eso vale para cualquier punto de la superficie (sin atmósfera ni rotación).