Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Junio · Opción A

Campos conservativos. Un campo de fuerzas es conservativo cuando el trabajo que realiza sobre una partícula al llevarla de un punto A a otro B depende solo de esos dos puntos y no del camino seguido. De forma equivalente, el trabajo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo:$$\oint \vec F\cdot d\vec r = 0$$Son conservativas la fuerza gravitatoria, la eléctrica y la elástica; en general, toda fuerza central que solo depende de la distancia. No conservativas son, por ejemplo, el rozamiento o la resistencia del aire: su trabajo depende del camino (cuanto más largo, más energía se disipa) y en un recorrido cerrado no es nulo.

Energía potencial. Solo para fuerzas conservativas se puede definir una función de la posición, la energía potencial $E_p$, tal que el trabajo del campo es igual a menos su variación:$$W_{A\to B} = -\Delta E_p = E_p(A) - E_p(B)$$Energía potencial gravitatoria. Para una masa $m$ en el campo de una masa puntual o esférica $M$, la fuerza es $\vec F = -\dfrac{GMm}{r^2}\,\vec u_r$. Integrando el trabajo y tomando el origen de energía potencial en el infinito ($E_p(\infty) = 0$):$$E_p(r) = -\frac{G\,M\,m}{r}$$Es negativa porque el campo es atractivo: hay que aportar energía para separar las masas hasta el infinito. Cerca de la superficie terrestre, para alturas pequeñas, su variación se aproxima por $\Delta E_p \approx m\,g\,h$.

Potencial gravitatorio. Es la energía potencial por unidad de masa colocada en el punto; describe el campo sin depender de la masa de prueba:$$V(r) = \frac{E_p}{m} = -\frac{G\,M}{r}\qquad (\text{J/kg})$$Para una masa esférica vale lo mismo en los puntos exteriores ($r \geq R$), como si toda la masa estuviera en el centro. Es una magnitud escalar; con varias masas, los potenciales se suman.

Energía mecánica total. Es la suma de la energía cinética y la potencial:$$E_m = E_c + E_p = \frac{1}{2}\,m\,v^2 - \frac{G\,M\,m}{r}$$Principio de conservación. Por el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo de todas las fuerzas es la variación de la energía cinética, $W_{\text{total}} = \Delta E_c$. Si solo actúan fuerzas conservativas, $W = -\Delta E_p$, y por tanto$$\Delta E_c + \Delta E_p = 0\ \Longrightarrow\ E_m = \text{constante}$$Por ejemplo, un satélite en órbita o un cuerpo en caída libre sin rozamiento convierten energía potencial en cinética y al revés, pero su suma no cambia. Si actúan además fuerzas no conservativas, su trabajo es la variación de la energía mecánica, $W_{nc} = \Delta E_m$: el rozamiento la hace disminuir (se transforma en calor), aunque la energía total del universo se conserva siempre.