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Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Julio · Opción B

Enunciado

Desde la superficie de un cierto planeta se ha lanzado una sonda espacial verticalmente hacia arriba con una velocidad de 20 km/s.

a) ¿Qué valor tiene la velocidad de escape en dicho planeta? ¿Conseguirá la sonda espacial escapar de la atracción gravitacional del planeta?

b) Si en el momento del lanzamiento la energía cinética de la sonda espacial es

10^{12}\,\text{J}

, determinar el valor de la masa de la sonda y de la fuerza de atracción ejercida por el planeta en dicho momento.

c) Calcular el peso y la velocidad de la sonda cuando ésta se encuentre a una altura de 600 km sobre la superficie del planeta.

Datos: masa del planeta:

M = 2{,}5\cdot10^{25}\,\text{kg}

; radio del planeta:

R = 6371\,\text{km}

; constante de gravitación universal:

G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N}\cdot\text{m}^2\text{}\cdot\text{kg}^{-2}

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Resultado

v_e = 2{,}29\cdot10^4\,\text{m/s} = 22{,}9\,\text{km/s}

; como

20 < 22{,}9\,\text{km/s}

, la sonda no escapa.

b)

m = 5000\,\text{kg}

;

F = 2{,}05\cdot10^5\,\text{N}

, hacia el centro del planeta.

c)

P = 1{,}72\cdot10^5\,\text{N}

;

v \approx 1{,}88\cdot10^4\,\text{m/s} = 18{,}8\,\text{km/s}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La velocidad de escape es la que hace que la energía mecánica sea justo cero: con ella la sonda llega al infinito parada. Si la sonda sale más despacio, su energía mecánica es negativa y acaba volviendo. La masa sale de la energía cinética y la velocidad; la fuerza (y el peso a 600 km) es la ley de gravitación con la distancia al centro del planeta. Para la velocidad a 600 km de altura usamos la conservación de la energía mecánica, porque la única fuerza es la gravitatoria, que es conservativa.

Desarrollo

a) Velocidad de escape. Con energía mecánica nula en la superficie:

\frac{1}{2}\,m\,v_e^2 - G\,\frac{M\,m}{R} = 0\quad\Longrightarrow\quad v_e = \sqrt{\frac{2\,G\,M}{R}}

v_e = \sqrt{\frac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot2{,}5\cdot10^{25}}{6{,}371\cdot10^{6}}} = 2{,}29\cdot10^{4}\,\text{m/s} = 22{,}9\,\text{km/s}

¿Escapa? La sonda sale a

20\,\text{km/s} < 22{,}9\,\text{km/s}

: su energía mecánica es negativa, subirá hasta una altura máxima y volverá a caer. No escapa.

b) Masa de la sonda. De la energía cinética del lanzamiento, con

v_0 = 2\cdot10^4\,\text{m/s}

E_c = \frac{1}{2}\,m\,v_0^2\quad\Longrightarrow\quad m = \frac{2\,E_c}{v_0^2} = \frac{2\cdot10^{12}}{(2\cdot10^4)^2} = 5000\,\text{kg}

Fuerza en la superficie. A distancia

R

del centro:

F = G\,\frac{M\,m}{R^2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot2{,}5\cdot10^{25}\cdot5000}{(6{,}371\cdot10^6)^2} = 2{,}05\cdot10^{5}\,\text{N}

Dirigida hacia el centro del planeta. (Equivale a una gravedad en la superficie de

g_0 = GM/R^2 = 41{,}1\,\text{m/s}^2

.)

c) Peso a 600 km de altura. La distancia al centro es

r = R + h = 6{,}371\cdot10^6 + 0{,}6\cdot10^6 = 6{,}971\cdot10^6\,\text{m}

P = G\,\frac{M\,m}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot2{,}5\cdot10^{25}\cdot5000}{(6{,}971\cdot10^6)^2} = 1{,}72\cdot10^{5}\,\text{N}

Conservación de la energía. Entre la superficie y la altura de 600 km:

\frac{1}{2}\,m\,v_0^2 - G\,\frac{M\,m}{R} = \frac{1}{2}\,m\,v^2 - G\,\frac{M\,m}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{v_0^2 - 2\,G\,M\left(\frac{1}{R} - \frac{1}{r}\right)}

Valores numéricos. Las energías potenciales son

E_p(R) = -G\,\frac{M\,m}{R} = -1{,}309\cdot10^{12}\,\text{J}\qquad E_p(r) = -G\,\frac{M\,m}{r} = -1{,}196\cdot10^{12}\,\text{J}

La energía mecánica es

E_m = 10^{12} - 1{,}309\cdot10^{12} = -3{,}09\cdot10^{11}\,\text{J}

(negativa, como se dijo en a). A 600 km de altura:

E_c = E_m - E_p(r) = -3{,}09\cdot10^{11} + 1{,}196\cdot10^{12} = 8{,}87\cdot10^{11}\,\text{J}

v = \sqrt{\frac{2\,E_c}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot8{,}87\cdot10^{11}}{5000}} = 1{,}88\cdot10^{4}\,\text{m/s} \approx 18{,}8\,\text{km/s}

Consejo

Las distancias en la ley de gravitación se miden desde el centro del planeta: a 600 km de altura, $r = R + h$ . Y pasa los kilómetros a metros antes de operar; olvidar el $10^3$ del radio es el error más típico de este problema.