Problema resuelto de Física: Movimiento de cargas: fuerza de LorentzSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Julio · Opción B

a) Fuerza de Lorentz. Una carga $q$ que se mueve con velocidad $\vec v$ en un campo magnético $\vec B$ sufre la fuerza$$\vec F = q\,(\vec v\times\vec B)$$

• Módulo: $F = |q|\,v\,B\,\text{sen}\,\alpha$, con $\alpha$ el ángulo entre $\vec v$ y $\vec B$. Es nula si la carga está quieta o se mueve paralela al campo, y máxima ($F = |q|vB$) si $\vec v \perp \vec B$.
• Dirección: perpendicular al plano que forman $\vec v$ y $\vec B$.
• Sentido: el del producto vectorial (regla de la mano derecha) para una carga positiva; el contrario para una negativa.

Como la fuerza es siempre perpendicular a la velocidad, no hace trabajo: no cambia el módulo de la velocidad ni la energía cinética, solo su dirección.

Trayectoria con $\vec v \perp \vec B$. La fuerza tiene módulo constante $|q|vB$ y es perpendicular a la velocidad: es una fuerza centrípeta y la carga describe un movimiento circular uniforme en el plano perpendicular a $\vec B$. Igualando con la fuerza centrípeta:$$|q|\,v\,B = m\,\frac{v^2}{R}\quad\Longrightarrow\quad R = \frac{m\,v}{|q|\,B}$$Periodo. Una vuelta completa tarda$$T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{|q|\,B}$$que no depende de la velocidad. Cargas de signo opuesto giran en sentidos opuestos. (Si $\vec v$ formara otro ángulo con $\vec B$, la trayectoria sería una hélice.)

Ejemplo. Un protón ($m = 1{,}67\cdot10^{-27}\,\text{kg}$, $q = 1{,}6\cdot10^{-19}\,\text{C}$) a $10^6\,\text{m/s}$ perpendicular a un campo de $0{,}1\,\text{T}$ describe una circunferencia de radio $R = \dfrac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot10^6}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}1} \approx 0{,}10\,\text{m}$. En esto se basan el espectrómetro de masas y el ciclotrón.

b) Fuerza sobre un conductor rectilíneo. Una corriente $I$ es un conjunto de cargas que se mueven por el conductor. Sobre cada una actúa la fuerza de Lorentz, y la suma sobre un tramo recto de longitud $L$ (con $\vec L$ en el sentido de la corriente) es$$\vec F = I\,(\vec L\times\vec B)$$

• Módulo: $F = I\,L\,B\,\text{sen}\,\alpha$, con $\alpha$ el ángulo entre el conductor y el campo. Nula si el hilo es paralelo a $\vec B$; máxima, $F = ILB$, si es perpendicular.
• Dirección: perpendicular al conductor y al campo.
• Sentido: el del producto vectorial $\vec L\times\vec B$ (regla de la mano derecha, con el pulgar en el sentido de la corriente).

Ejemplo. Un hilo de 0,5 m por el que circulan 2 A, perpendicular a un campo de 0,3 T, sufre una fuerza $F = 2\cdot0{,}5\cdot0{,}3 = 0{,}3\,\text{N}$. Es el principio del motor eléctrico: sobre una espira con corriente en un campo magnético actúan fuerzas opuestas en sus lados, que la hacen girar.