Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Julio · Opción B

Definición. Una onda estacionaria es el resultado de la superposición (interferencia) de dos ondas armónicas de igual amplitud, frecuencia y longitud de onda que se propagan en la misma dirección y en sentidos opuestos. Se forma, por ejemplo, cuando una onda se refleja en un extremo fijo y la onda reflejada se superpone con la incidente.

Ecuación. Si las dos ondas son $y_1 = A\,\text{sen}(\omega t - kx)$ e $y_2 = A\,\text{sen}(\omega t + kx)$, su suma es$$y = y_1 + y_2 = 2A\cos(kx)\,\text{sen}(\omega t)$$Cada punto vibra con un MAS de la misma frecuencia que las ondas, pero con una amplitud que depende de su posición, $A_x = 2A\,|\cos(kx)|$. La forma de la onda no avanza: el perfil «está quieto» y solo cambia su altura.

Nodos y vientres. Hay puntos que no vibran nunca (nodos, $A_x = 0$) y puntos que vibran con la amplitud máxima $2A$ (vientres). Con la ecuación anterior:

• nodos: $\cos(kx) = 0 \Rightarrow x = (2n + 1)\,\dfrac{\lambda}{4}$;
• vientres: $|\cos(kx)| = 1 \Rightarrow x = n\,\dfrac{\lambda}{2}$.

Dos nodos (o dos vientres) consecutivos están separados $\lambda/2$, y entre un nodo y el vientre siguiente hay $\lambda/4$.

Diferencias con una onda viajera. En una onda estacionaria no hay propagación neta: no transporta energía de un punto a otro (la energía queda confinada entre los nodos); no todos los puntos vibran con la misma amplitud, y todos los puntos entre dos nodos vibran en fase (los de tramos contiguos, en oposición).

Ejemplo 1: cuerda con los dos extremos fijos (guitarra, violín, piano). Los extremos son nodos, así que en la longitud $L$ de la cuerda caben un número entero de medias longitudes de onda:$$L = n\,\frac{\lambda}{2}\quad\Longrightarrow\quad f_n = n\,\frac{v}{2L},\qquad n = 1, 2, 3\ldots$$Solo vibran esas frecuencias: la fundamental ($n = 1$) y sus armónicos. Por eso cada cuerda da una nota concreta, que se cambia pisando la cuerda (cambia $L$) o tensándola (cambia $v$).

Ejemplo 2: tubos sonoros (flauta, órgano). En un tubo abierto por los dos extremos hay vientres en ambos y $f_n = n\,v/(2L)$; en uno cerrado por un extremo, nodo en el cerrado y vientre en el abierto, y solo aparecen los armónicos impares, $f_n = (2n - 1)\,v/(4L)$.

Otros ejemplos. Las ondas en la superficie de una membrana de tambor, las del agua en una bañera o un estanque cuando la onda se refleja en las paredes, o las microondas dentro del horno (los puntos que no se calientan son los nodos).