Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Julio · Opción A

a) Frecuencia angular.$$\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot60 = 120\pi\,\text{rad/s}$$Velocidad de propagación. La onda recorre los 6 m de cuerda en 0,5 s:$$v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{6}{0{,}5} = 12\,\text{m/s}$$Longitud de onda y número de onda.$$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{12}{60} = 0{,}2\,\text{m}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}2} = 10\pi\,\text{rad/m}$$Ecuación de la onda. Se propaga en el sentido positivo del eje (signo menos entre $\omega t$ y $kx$):$$y(x,t) = 0{,}03\,\text{sen}\left(120\pi\,t - 10\pi\,x + \frac{\pi}{2}\right)\quad(\text{SI})$$b) Diferencia de fase entre dos puntos. En el mismo instante, la fase de dos puntos $x_1$ y $x_2$ se diferencia en$$\Delta\varphi = k\,|x_2 - x_1|\quad\Longrightarrow\quad |x_2 - x_1| = \frac{\Delta\varphi}{k} = \frac{2\pi}{10\pi} = 0{,}2\,\text{m}$$Es justo una longitud de onda: dos puntos desfasados $2\pi$ vibran en fase. (Los puntos a $2\lambda$, $3\lambda$… también están en fase; la distancia mínima es $0{,}2\,\text{m}$.)

c) Velocidad de vibración. Derivamos respecto del tiempo con $x$ fijo:$$v_y = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}03\cdot120\pi\,\cos\left(120\pi\,t - 10\pi\,x + \frac{\pi}{2}\right) = 3{,}6\pi\,\cos\left(120\pi\,t - 10\pi\,x + \frac{\pi}{2}\right)$$Valor máximo. Cuando el coseno vale $\pm1$:$$v_{y,\text{máx}} = A\,\omega = 0{,}03\cdot120\pi = 3{,}6\pi \approx 11{,}3\,\text{m/s}$$Cada punto de la cuerda alcanza esa velocidad al pasar por la posición de equilibrio. Fíjate en que es distinta de la velocidad de propagación de la onda (12 m/s).