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Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · País Vasco 2018 · Julio · Opción A

Enunciado

Dos cargas fijas,

q_1

q_2

, se encuentran a 6 m de distancia y se ejercen una fuerza de repulsión de 0,025 N. La carga

q_1

se encuentra en el origen del eje de coordenadas y la carga

q_2

en el lado positivo de eje OX.

a) ¿Qué valor tiene el campo eléctrico creado por ambas cargas en el punto medio del segmento que las une? (debes indicar módulo, dirección y sentido)

b) Calcular el valor del potencial eléctrico del sistema de cargas en el punto medio del segmento que las une.

c) ¿Qué trabajo debe hacerse para traer una carga

q_3 = +10^{-5}\,\text{C}

desde el infinito hasta el punto medio del segmento que une las cargas

q_1

q_2

?

Datos:

q_1 = +2\cdot10^{-5}\,\text{C}

;

k = 9\cdot10^{9}\,\text{N}\cdot\text{m}^2\text{}\cdot\text{C}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

q_2 = +5\cdot10^{-6}\,\text{C}

;

\vec E = 1{,}5\cdot10^4\,\vec\imath\ \text{N/C}

: módulo

1{,}5\cdot10^4\,\text{N/C}

, a lo largo del eje OX, hacia

q_2

(sentido positivo).

b)

V_P = 7{,}5\cdot10^4\,\text{V}

.

c) Hay que hacer un trabajo exterior de

+0{,}75\,\text{J}

; el campo hace

-0{,}75\,\text{J}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Antes de nada falta un dato: el valor de

q_2

. Lo sacamos de la fuerza con la ley de Coulomb, y su signo de que la fuerza es de repulsión (las dos cargas tienen el mismo signo, así que

q_2

es positiva). Después todo ocurre en el punto medio

P = (3, 0)\,\text{m}

, a 3 m de cada carga:

el campo es una suma de vectores: cada carga positiva empuja alejándose de ella, así que en $P$ los dos campos van en sentidos opuestos y se restan;
el potencial es una suma de escalares, sin direcciones;
el trabajo para traer $q_3$ sale de la diferencia de potencial entre el infinito ( $V = 0$ ) y $P$ .

Desarrollo

a) Valor de $q_2$ . Con la ley de Coulomb y

d = 6\,\text{m}

F = k\,\frac{q_1\,q_2}{d^2}\quad\Longrightarrow\quad q_2 = \frac{F\,d^2}{k\,q_1} = \frac{0{,}025\cdot 6^2}{9\cdot10^9\cdot2\cdot10^{-5}} = 5\cdot10^{-6}\,\text{C}

Es positiva porque la fuerza es de repulsión y

q_1

es positiva.

Campo de cada carga en $P$ . Las dos están a

r = 3\,\text{m}

P

E_1 = k\,\frac{q_1}{r^2} = \frac{9\cdot10^9\cdot2\cdot10^{-5}}{3^2} = 2\cdot10^4\,\text{N/C}\qquad E_2 = k\,\frac{q_2}{r^2} = \frac{9\cdot10^9\cdot5\cdot10^{-6}}{3^2} = 5\cdot10^3\,\text{N/C}

Sentidos.

q_1

, en el origen, empuja hacia

+x

\vec E_1 = 2\cdot10^4\,\vec\imath\ \text{N/C}

q_2

, en

x = 6\,\text{m}

, empuja hacia

-x

\vec E_2 = -5\cdot10^3\,\vec\imath\ \text{N/C}

.

Campo total (superposición).

\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 = (2\cdot10^4 - 5\cdot10^3)\,\vec\imath = 1{,}5\cdot10^4\,\vec\imath\ \ \text{N/C}

Módulo

1{,}5\cdot10^4\,\text{N/C}

, dirección la del eje OX y sentido positivo (hacia

q_2

), porque domina el campo de la carga mayor.

b) Potencial en $P$ . Se suman los potenciales con su signo:

V_P = k\,\frac{q_1}{r} + k\,\frac{q_2}{r} = \frac{9\cdot10^9\,(2\cdot10^{-5} + 5\cdot10^{-6})}{3} = 7{,}5\cdot10^4\,\text{V}

c) Trabajo del campo. Para llevar

q_3

del infinito (

V_\infty = 0

) a

P

, el campo hace

W_\text{campo} = q_3\,(V_\infty - V_P) = 10^{-5}\,(0 - 7{,}5\cdot10^4) = -0{,}75\,\text{J}

Trabajo de la fuerza exterior. Es negativo: el campo se opone, porque las tres cargas son positivas y se repelen. Para traerla (sin que gane energía cinética) un agente exterior tiene que hacer el trabajo contrario:

W_\text{ext} = -W_\text{campo} = q_3\,(V_P - V_\infty) = +0{,}75\,\text{J}

Ese trabajo queda almacenado como energía potencial de

q_3

P

E_p = q_3\,V_P = 0{,}75\,\text{J}

Consejo

El campo es un vector y el potencial un escalar: en el punto medio los campos de dos cargas del mismo signo se restan, pero sus potenciales se suman. Dibuja siempre las flechas antes de operar, y en el trabajo di quién lo hace: el campo ( $-0{,}75$ J) o la fuerza exterior ( $+0{,}75$ J).